Achar nas seguintes equações integrais de Volterra:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação integral de Volterra que o problema passou pra gente. A equação é:
Então, vamos trabalhar com equações integrais de Volterra, que geralmente aparecem em cálculo quando queremos encontrar uma função desconhecida que está dentro de uma integral. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de cálculo, como derivação e resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos tirar a derivada dos dois lados da equação em relação a . Isso vai nos ajudar a simplificar a integral. Lembre-se que a derivada de uma integral que tem como limite superior pode ser tratada usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Derivando ambos os lados:
Isso resulta em:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da integral. Usando o teorema mencionado, temos:
Simplificando:
Então, nossa equação fica:

Passo 4

Vamos derivar novamente ambos os lados para eliminar a integral:
Isso resulta em:

Passo 5

Agora temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem:
A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Para encontrar e , vamos usar as informações da equação original quando :
Substituindo na equação original:
Usando a solução geral:

Passo 7

Agora, vamos encontrar usando a derivada da equação original. Lembrando da equação após o primeiro passo de diferenciação:
Substituindo :
Calculando a derivada da solução geral:

Resposta

Portanto, a solução da equação integral é:

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