Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
sent
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função
que satisfaz a equação integral de Volterra dada por:
com a condição inicial
.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial e integral, especialmente entender como resolver equações diferenciais com termos integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o trabalho. Temos:
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que a derivada da integral de
de 0 a
em relação a
é simplesmente
(pela regra fundamental do cálculo).
Passo 3
Derivando ambos os lados:
Isso resulta em:
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem.
Passo 4
Vamos resolver a equação diferencial homogênea associada:
As soluções dessa equação são combinações lineares de e
:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo do lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando, vemos que isso não resolve nada, pois tudo cancela. Isso significa que precisamos multiplicar por
a nossa tentativa de solução particular para evitar a solução homogênea.
Então, tentamos:
Passo 6
Substituindo na equação diferencial:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Isso nos dá o sistema:
Passo 7
Então, a solução particular é:
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular:
Passo 8
Vamos aplicar a condição inicial
:
Então,
.
Passo 9
Agora, nossa solução fica:
Para determinar
, precisamos de mais informações, mas como não temos mais condições iniciais, assumimos que
para simplificar, resultando em:
Resposta
A solução da equação é:
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nas seguintes equações integrais de Volterra:
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. Dica: Fazer
e
.
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e
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
.