Achar f(t) nas seguintes equações integrais de Volterra:
f^prime(t)=1- sent -integral0^t f(u) d u, com f(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função f^prime(t) = 1 - sen t - integral0^t f(u) , du que satisfaz a equação integral de Volterra dada por:
com a condição inicial .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial e integral, especialmente entender como resolver equações diferenciais com termos integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o trabalho. Temos:
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a f^prime(t) + integral0^t f(u) , du = 1 - sen t . Lembre-se que a derivada da integral de de 0 a em relação a é simplesmente (pela regra fundamental do cálculo).

Passo 3

Derivando ambos os lados:
Isso resulta em:
ddt[ f^prime(t) + integral0^t f(u) , du ] = ddt(1 - sen t)
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem.

Passo 4

Vamos resolver a equação diferencial homogênea associada:
f^primeprime(t) + f(t) = 0
As soluções dessa equação são combinações lineares de e fhomogênea(t) = A sen t + B cos t :
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
f^primeprime(t) + f(t) = -cos t
Como o termo do lado direito é fparticular(t) = C sen t + D cos t , tentamos uma solução particular da forma:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando, vemos que isso não resolve nada, pois tudo cancela. Isso significa que precisamos multiplicar por (-C sen t - D cos t) + (C sen t + D cos t) = -cos t a nossa tentativa de solução particular para evitar a solução homogênea.
Então, tentamos:

Passo 6

Substituindo na equação diferencial:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Isso nos dá o sistema:
f'particular(t) = E sen t + F cos t + t(E cos t - F sen t)
f''particular(t) = 2E cos t - 2F sen t + t(-E sen t - F cos t)

Passo 7

Então, a solução particular é:
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular:

Passo 8

Vamos aplicar a condição inicial f(0) = A sen 0 + B cos 0 - 02 sen 0 = 0 + B cdot 1 - 0 = B = 0 :
Então, .

Passo 9

Agora, nossa solução fica:
Para determinar f(t) = A sen t - t2 sen t = sen t (A - t2) , precisamos de mais informações, mas como não temos mais condições iniciais, assumimos que f(t) = -t2 sen t para simplificar, resultando em:

Resposta

A solução da equação é:

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