Achar nas seguintes equações integrais de Volterra:
sent , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função que satisfaz a equação integral de Volterra dada por:
com a condição inicial .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial e integral, especialmente entender como resolver equações diferenciais com termos integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o trabalho. Temos:
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que a derivada da integral de de 0 a em relação a é simplesmente (pela regra fundamental do cálculo).

Passo 3

Derivando ambos os lados:
Isso resulta em:
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem.

Passo 4

Vamos resolver a equação diferencial homogênea associada:
As soluções dessa equação são combinações lineares de e :
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo do lado direito é , tentamos uma solução particular da forma:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando, vemos que isso não resolve nada, pois tudo cancela. Isso significa que precisamos multiplicar por a nossa tentativa de solução particular para evitar a solução homogênea.
Então, tentamos:

Passo 6

Substituindo na equação diferencial:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Isso nos dá o sistema:

Passo 7

Então, a solução particular é:
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular:

Passo 8

Vamos aplicar a condição inicial :
Então, .

Passo 9

Agora, nossa solução fica:
Para determinar , precisamos de mais informações, mas como não temos mais condições iniciais, assumimos que para simplificar, resultando em:

Resposta

A solução da equação é:

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