Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) com duas equações:
Vamos resolver este sistema para encontrar as funções e que satisfazem ambas as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, consideramos as equações sem os termos independentes:

Passo 3

Escreveremos o sistema em forma matricial para facilitar a resolução:

$$


$$

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes. Os autovalores satisfazem a equação:
Calculando o determinante:
Obtivemos um autovalor repetido: .

Passo 5

Como temos um autovalor repetido, a solução da parte homogênea será:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo. Observamos que o termo não homogêneo é , então tentamos soluções da forma:

Passo 7

Derivando e substituindo na primeira equação do sistema:
Comparando os coeficientes, temos:
A segunda equação nos dá uma inconsistência, indicando que nossa suposição para a solução particular está incorreta.

Passo 8

Vamos tentar uma forma mais completa para a solução particular, incluindo um termo constante:

Passo 9

Derivando e substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 10

Fazemos o mesmo para a segunda equação do sistema:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá mais duas equações:

Passo 11

Resolvemos o sistema de equações obtido:
Da equação 3:
Substituindo na equação 1:
Da equação 4:
Substituindo na equação 2:

Passo 12

A solução particular encontrada é:

Passo 13

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral do sistema é:

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e .
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