Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) com duas equações:
Vamos resolver este sistema para encontrar as funções
e
que satisfazem ambas as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, consideramos as equações sem os termos independentes:
Passo 3
Escreveremos o sistema em forma matricial para facilitar a resolução:
$$
$$
Passo 4
Vamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes. Os autovalores
satisfazem a equação:
Calculando o determinante:
Obtivemos um autovalor repetido:
.
Passo 5
Como temos um autovalor repetido, a solução da parte homogênea será:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo. Observamos que o termo não homogêneo é
, então tentamos soluções da forma:
Passo 7
Derivando
e substituindo na primeira equação do sistema:
Comparando os coeficientes, temos:
A segunda equação nos dá uma inconsistência, indicando que nossa suposição para a solução particular está incorreta.
Passo 8
Vamos tentar uma forma mais completa para a solução particular, incluindo um termo constante:
Passo 9
Derivando
e substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 10
Fazemos o mesmo para a segunda equação do sistema:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá mais duas equações:
Passo 11
Resolvemos o sistema de equações obtido:
Da equação 3:
Substituindo na equação 1:
Da equação 4:
Substituindo na equação 2:
Passo 12
A solução particular encontrada é:
Passo 13
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral do sistema é:
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e
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e
, com
e
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sent e
, com
e
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