Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
x' = -4(x + y) e x' + 4y' = -4y, com x(0) = 1 e y(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de EDOs (Equações Diferenciais Ordinárias) que você me mandou. O que vamos precisar aqui é entender como resolver um sistema de equações diferenciais lineares. Basicamente, temos duas equações envolvendo as derivadas de e , e queremos encontrar as funções e que satisfazem essas equações, além das condições iniciais e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Aqui, e representam as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos manipular as equações para encontrar uma relação entre e . Da primeira equação, temos:
Da segunda equação:
Substituindo da equação (1) na equação (2):
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos que envolvem e :
Dividindo ambos os lados por 4:
Isso nos dá uma relação simples entre e .

Passo 5

Agora, sabemos que . Vamos usar isso na equação (1):
Mas, sabendo que , podemos também derivar essa relação:
Então, substituindo da equação (1) na expressão para :
Mas já estabelecemos que , então substituindo:

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem para :
Vamos resolver essa equação característica. Suponha que a solução seja da forma . Substituindo na equação:
Dividindo por :

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática:
Temos uma raiz dupla . Então, a solução geral para é:

Passo 8

Agora, lembrando que , vamos encontrar :
Derivando :
Então, .

Passo 9

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Então, .
Agora, para :
Então, .

Resposta

As soluções são:
Ou seja,

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