Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de EDOs (Equações Diferenciais Ordinárias) que você me mandou. O que vamos precisar aqui é entender como resolver um sistema de equações diferenciais lineares. Basicamente, temos duas equações envolvendo as derivadas de
e
, e queremos encontrar as funções
e
que satisfazem essas equações, além das condições iniciais
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Aqui,
e
representam as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos manipular as equações para encontrar uma relação entre
e
. Da primeira equação, temos:
Da segunda equação:
Substituindo
da equação (1) na equação (2):
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos isolar os termos que envolvem
e
:
Dividindo ambos os lados por 4:
Isso nos dá uma relação simples entre
e
.
Passo 5
Agora, sabemos que
. Vamos usar isso na equação (1):
Mas, sabendo que
, podemos também derivar essa relação:
Então, substituindo
da equação (1) na expressão para
:
Mas já estabelecemos que
, então substituindo:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem para
:
Vamos resolver essa equação característica. Suponha que a solução seja da forma
. Substituindo na equação:
Dividindo por
:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática:
Temos uma raiz dupla
. Então, a solução geral para
é:
Passo 8
Agora, lembrando que
, vamos encontrar
:
Derivando
:
Então,
.
Passo 9
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Agora, para
:
Então,
.
Resposta
As soluções são:
Ou seja,