Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O enunciado nos dá duas equações:
Vamos utilizar conceitos de sistemas lineares com coeficientes constantes para encontrar as soluções de
e
. Para isso, precisaremos encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz associada ao sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs na forma matricial. Podemos expressar as equações como:
$$
$$
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores próprios da matriz
. Para isso, resolvemos a equação característica:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, os valores próprios são:
Passo 4
Com os valores próprios encontrados, vamos determinar os vetores próprios correspondentes. Vamos usar
.
Resolvemos
:
Simplificando a matriz:
Da primeira equação:
Podemos escolher
, então:
Passo 5
Agora, podemos escrever a solução geral do sistema usando os valores próprios e vetores próprios. Como temos valores próprios complexos, a solução será uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas.
A solução geral é:
Onde
e
são constantes determináveis pelas condições iniciais.
Resposta
As soluções do sistema são:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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e
.
Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
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e
.
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e
, com
e
.