Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O enunciado nos dá duas equações:
Vamos utilizar conceitos de sistemas lineares com coeficientes constantes para encontrar as soluções de e . Para isso, precisaremos encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz associada ao sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs na forma matricial. Podemos expressar as equações como:

$$


$$
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores próprios da matriz . Para isso, resolvemos a equação característica:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, os valores próprios são:

Passo 4

Com os valores próprios encontrados, vamos determinar os vetores próprios correspondentes. Vamos usar .
Resolvemos :
Simplificando a matriz:
Da primeira equação:
Podemos escolher , então:

Passo 5

Agora, podemos escrever a solução geral do sistema usando os valores próprios e vetores próprios. Como temos valores próprios complexos, a solução será uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas.
A solução geral é:
Onde e são constantes determináveis pelas condições iniciais.

Resposta

As soluções do sistema são:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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e .
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.
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e .
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e , com e .