Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui são duas equações diferenciais ordinárias (EDOs) que estão interligadas. Nosso objetivo é resolver esse sistema usando a Transformada de Laplace, que é uma técnica poderosa para resolver EDOs, especialmente quando temos condições iniciais como aqui. Para isso, vamos precisar aplicar a transformada nas duas equações e resolver o sistema algébrico resultante para encontrar as funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambas as equações. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada ajuda a transformar as EDOs em equações algébricas mais fáceis de manejar.
Para a primeira equação:
Aplicando a Transformada de Laplace:
Sabemos que:
Substituindo:
Simplificando:
çã

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na segunda equação:
Aplicando a Transformada de Laplace:
Substituindo as transformadas:
Dados os valores iniciais e :
Simplificando:
çã

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações algébricas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos multiplicar a Equação 1 por 4 para facilitar a eliminação:
çã
Agora, somamos essa equação com a Equação 2:
Simplificando:
Para facilitar, vamos isolar . Através de álgebra, encontramos:
No entanto, para simplificar, geralmente é mais eficiente usar matrizes ou determinantes, mas para manter a simplicidade, vamos continuar com a substituição.

Passo 5

Vamos voltar à Equação 1:
Substituindo da Equação 2:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Isolando :
Simplificando o denominador:

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar usando a Equação 2:
Substituindo :
Isolando :
Simplificando:
Explicando o processo de simplificação passo a passo ajudaria aqui, mas para mantermos o foco, avançamos para resolver a Transformada de Laplace inversa.

Passo 7

Agora, temos e podemos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar e .
Para , completamos o quadrado no denominador:
Então,
Agora, aplicando a Transformada de Laplace inversa:

Passo 8

Da mesma forma, podemos encontrar e aplicar a Transformada de Laplace inversa para obter . Após simplificações semelhantes, a solução para será:

Resposta

As soluções para o sistema de EDOs são:

Exercícios relacionados

Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
sent e , com e .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com e . Resp. .