Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui são duas equações diferenciais ordinárias (EDOs) que estão interligadas. Nosso objetivo é resolver esse sistema usando a Transformada de Laplace, que é uma técnica poderosa para resolver EDOs, especialmente quando temos condições iniciais como aqui. Para isso, vamos precisar aplicar a transformada nas duas equações e resolver o sistema algébrico resultante para encontrar as funções
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambas as equações. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada ajuda a transformar as EDOs em equações algébricas mais fáceis de manejar.
Para a primeira equação:
Aplicando a Transformada de Laplace:
Sabemos que:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na segunda equação:
Aplicando a Transformada de Laplace:
Substituindo as transformadas:
Dados os valores iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações algébricas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos multiplicar a Equação 1 por 4 para facilitar a eliminação:
Agora, somamos essa equação com a Equação 2:
Simplificando:
Para facilitar, vamos isolar
. Através de álgebra, encontramos:
No entanto, para simplificar, geralmente é mais eficiente usar matrizes ou determinantes, mas para manter a simplicidade, vamos continuar com a substituição.
Passo 5
Vamos voltar à Equação 1:
Substituindo
da Equação 2:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Isolando
:
Simplificando o denominador:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a Equação 2:
Substituindo
:
Isolando
:
Simplificando:
Explicando o processo de simplificação passo a passo ajudaria aqui, mas para mantermos o foco, avançamos para resolver a Transformada de Laplace inversa.
Passo 7
Agora, temos
e podemos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar
e
.
Para
, completamos o quadrado no denominador:
Então,
Agora, aplicando a Transformada de Laplace inversa:
Passo 8
Da mesma forma, podemos encontrar
e aplicar a Transformada de Laplace inversa para obter
. Após simplificações semelhantes, a solução para
será:
Resposta
As soluções para o sistema de EDOs são:
Exercícios relacionados
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
sent e
, com
e
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com
e
. Resp.
.