Determinar as equações das linhas retas ou das curvas que contêm os pontos dados ou que verificam as condições especificadas.
4.2 Determinar a equação da circunferência que contém os pontos .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação da circunferência que passa pelos pontos , e . Isso envolve geometria analítica, especificamente as equações de circunferências. Para resolver, vamos usar a fórmula geral da circunferência e resolver um sistema de equações com as coordenadas dos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral de uma circunferência. Ela é dada por:
Onde é o centro da circunferência e é o raio. Nosso objetivo é encontrar , e .
Passo 3
Como os pontos , e estão na circunferência, eles satisfazem a equação. Vamos substituir cada ponto na equação para obter três equações:
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Como temos três equações com três incógnitas (, , ), podemos resolver o sistema. Vamos simplificar subtraindo a Equação (1) da Equação (2) e a Equação (1) da Equação (3) para eliminar .
Subtraindo (1) de (2):
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Passo 5
Agora, subtraindo a Equação (1) da Equação (3):
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Passo 6
Agora temos um sistema com duas equações (4) e (5) para resolver e :
Vamos resolver esse sistema. Por exemplo, podemos multiplicar a Equação (4) por 3 e a Equação (5) por 4 para facilitar a eliminação:
Multiplicando (4) por 3:
Multiplicando (5) por 4:
Agora, subtraindo (7) de (6):
Passo 7
Com o valor de , vamos substituir na Equação (4) para encontrar :
Simplificando:
Somando com 27:
Então:
Passo 8
Agora que temos e , vamos encontrar o raio usando a Equação (1):
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da circunferência que passa pelos pontos , e é: