Determinar as equações das linhas retas ou das curvas que contêm os pontos dados ou que verificam as condições especificadas.
4.2 Determinar a equação da circunferência que contém os pontos A=(1,1), B=(-2,5), C=(3,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação da circunferência que passa pelos pontos , e . Isso envolve geometria analítica, especificamente as equações de circunferências. Para resolver, vamos usar a fórmula geral da circunferência e resolver um sistema de equações com as coordenadas dos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral de uma circunferência. Ela é dada por:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde é o centro da circunferência e é o raio. Nosso objetivo é encontrar , e .

Passo 3

Como os pontos (1 - h)^2 + (1 - k)^2 = r^2 (1) , (-2 - h)^2 + (5 - k)^2 = r^2 (2) e (3 - h)^2 + (4 - k)^2 = r^2 (3) estão na circunferência, eles satisfazem a equação. Vamos substituir cada ponto na equação para obter três equações:
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Como temos três equações com três incógnitas ( (-2 - h)^2 + (5 - k)^2 - [(1 - h)^2 + (1 - k)^2] = 0 , 4 + 4h + h^2 + 25 - 10k + k^2 - (1 - 2h + h^2 + 1 - 2k + k^2) = 0 , 4 + 4h + 25 - 10k - 1 + 2h -1 + 2k = 0 ), podemos resolver o sistema. Vamos simplificar subtraindo a Equação (1) da Equação (2) e a Equação (1) da Equação (3) para eliminar 6h - 8k + 27 = 0 (4) .
Subtraindo (1) de (2):
Expandindo os quadrados:
Simplificando:

Passo 5

Agora, subtraindo a Equação (1) da Equação (3):
(3 - h)^2 + (4 - k)^2 - [(1 - h)^2 + (1 - k)^2] = 0
Expandindo os quadrados:
9 - 6h + h^2 + 16 - 8k + k^2 - (1 - 2h + h^2 + 1 - 2k + k^2) = 0
Simplificando:
9 - 6h + 16 - 8k - 1 + 2h -1 + 2k = 0
-4h - 6k + 23 = 0 (5)

Passo 6

Agora temos um sistema com duas equações (4) e (5) para resolver 6h - 8k + 27 = 0 e -4h - 6k + 23 = 0 :
18h - 24k + 81 = 0 (6)
-16h - 24k + 92 = 0 (7)
Vamos resolver esse sistema. Por exemplo, podemos multiplicar a Equação (4) por 3 e a Equação (5) por 4 para facilitar a eliminação:
Multiplicando (4) por 3:
18h - 24k + 81 - (-16h - 24k + 92) = 0
Multiplicando (5) por 4:
18h - 24k + 81 + 16h + 24k - 92 = 0
Agora, subtraindo (7) de (6):
34h - 11 = 0
34h = 11
h = 1134

Passo 7

Com o valor de 6(1134) - 8k + 27 = 0 , vamos substituir na Equação (4) para encontrar 6634 - 8k + 27 = 0 :
3317 - 8k + 27 = 0
3317 + 45917 = 49217
Simplificando:
49217 - 8k = 0
Somando -8k = -49217 com 27:
k = 49217 times 8 = 492136 = 12334
Então:

Passo 8

Agora que temos (1 - h)^2 + (1 - k)^2 = r^2 e (1 - 1134)^2 + (1 - 12334)^2 = r^2 , vamos encontrar o raio (2334)^2 + (-8934)^2 = r^2 usando a Equação (1):
5291156 + 79211156 = r^2
Substituindo os valores:
84501156 = r^2
r^2 = 84501156 = 4225578
Simplificando:

Resposta

A equação da circunferência que passa pelos pontos (x - 1134)^2 + (y - 12334)^2 = 4225578 , e é:

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