Resolver usando o método da variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa usando a variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes reais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular usando a variação dos parâmetros. A forma geral da solução particular para uma equação não homogênea é:
onde e são as soluções da equação homogênea.
No nosso caso:
Passo 4
Para encontrar e , precisamos calcular o Wronskiano das soluções e . O Wronskiano é dado por:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 5
Agora, usamos as fórmulas para e :
onde .
Substituindo:
Passo 6
Vamos integrar e para encontrar e :
Como estamos procurando uma solução particular, podemos desconsiderar as constantes de integração. Portanto:
Passo 7
Agora, substituímos e na expressão da solução particular: