Resolver usando o método da variação dos parâmetros: y'' - 4y' + 4y = (x + 1)e^(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa usando a variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes reais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular usando a variação dos parâmetros. A forma geral da solução particular para uma equação não homogênea é:
onde e são as soluções da equação homogênea.
No nosso caso:

Passo 4

Para encontrar e , precisamos calcular o Wronskiano das soluções e . O Wronskiano é dado por:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 5

Agora, usamos as fórmulas para e :
onde .
Substituindo:

Passo 6

Vamos integrar e para encontrar e :
Como estamos procurando uma solução particular, podemos desconsiderar as constantes de integração. Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos e na expressão da solução particular:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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