Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região ao redor do eixo
. Essa região é delimitada pelas curvas
, pelas retas
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva
é uma função que sempre dá um valor positivo para
, já que estamos tirando a raiz quadrada. As retas
e
vão limitar nossa região no eixo
, e
é o eixo
mesmo. Então, estamos olhando para uma região entre
e
, debaixo da curva
e acima do eixo
.
Passo 3
Vamos decidir qual método usar. Como estamos girando a região em torno do eixo
, o método dos discos é apropriado. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui,
é a função que define a fronteira da região (nossa
), e
e
são os limites de integração, que neste caso são
e
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula. Primeiro, vamos elevar a função
ao quadrado:
Então, o volume fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral. Integramos
e
separadamente:
Portanto,
Passo 6
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de
a
:
Resposta
Multiplicando pelo
, o volume do sólido é:
Então, o volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
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Justifique convergência e divergência e calcule os valores, se possível, das seguintes séries:
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Responda: Qual a condição necessária e suficiente para a convergência de uma sequência monótona?
Responda: Qual a boa condição que garante a convergência de uma série alternada?