Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região ao redor do eixo . Essa região é delimitada pelas curvas , pelas retas , e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva é uma função que sempre dá um valor positivo para , já que estamos tirando a raiz quadrada. As retas e vão limitar nossa região no eixo , e é o eixo mesmo. Então, estamos olhando para uma região entre e , debaixo da curva e acima do eixo .

Passo 3

Vamos decidir qual método usar. Como estamos girando a região em torno do eixo , o método dos discos é apropriado. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, é a função que define a fronteira da região (nossa ), e e são os limites de integração, que neste caso são e .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula. Primeiro, vamos elevar a função ao quadrado:
Então, o volume fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral. Integramos e separadamente:
Portanto,

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de a :

Resposta

Multiplicando pelo , o volume do sólido é:
Então, o volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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Justifique convergência e divergência e calcule os valores, se possível, das seguintes séries:
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e
Responda: Qual a condição necessária e suficiente para a convergência de uma sequência monótona?
Responda: Qual a boa condição que garante a convergência de uma série alternada?