Responda: Qual a condição necessária e suficiente para a convergência de uma sequência monótona?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir qual é a condição necessária e suficiente pra uma sequência monótona convergir. Isso tá relacionado ao conteúdo de sucessões e convergência. Vamos precisar entender o que é uma sequência monótona e o que significa ela ser limitada.

Passo 2

Primeiro, uma sequência monótona é aquela que sempre está crescendo ou sempre está diminuindo. Ou seja, uma sequência pode ser crescente (cada termo é maior ou igual ao anterior) ou decrescente (cada termo é menor ou igual ao anterior).

Passo 3

Agora, pra uma sequência convergir, ela precisa ter um limite, ou seja, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de um certo valor conforme avançamos nos termos.

Passo 4

A condição necessária e suficiente pra que uma sequência monótona converge é ela ser limitada. Isso significa que existe um número que é maior que todos os termos (no caso de uma sequência crescente) ou menor que todos os termos (no caso de uma sequência decrescente).

Passo 5

Então, se a sequência é monótona e está limitada, ela vai necessariamente convergir. Isso é garantido pelo Teorema da Convergência para Sequências Monótonas.

Resposta

A condição necessária e suficiente para a convergência de uma sequência monótona é que ela seja limitada.

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