Justifique convergência e divergência e calcule os valores, se possível, das seguintes séries:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge e, se possível, calcular o seu valor. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de séries infinitas, como o Teste da Razão para determinar a convergência e, posteriormente, métodos para calcular a soma da série.

Passo 2

Vamos começar aplicando o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para determinar a convergência de séries que envolvem fatoriais. O teste da razão nos diz que, para uma série , se:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular a razão :
Simplificando:
Agora, vamos analisar o limite quando tende ao infinito:

Passo 3

Como o limite é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série converge.
Agora, vamos calcular o valor dessa soma. Para isso, lembramos que a série da função exponencial é dada por:
Derivando essa expressão várias vezes e avaliando em , podemos encontrar somas envolvendo . Especificamente, para , temos:
Como nossa série começa em , subtraímos o termo :

Resposta

A série converge e a sua soma é igual a .

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Responda: Qual a condição necessária e suficiente para a convergência de uma sequência monótona?