F um campo vetorial em
e
um campo escalar em
, mostre: a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com campos vetoriais e escalares em
. Especificamente, temos duas partes para resolver:
a) Mostrar que o rotor do gradiente de uma função escalar é o vetor zero, ou seja,
.
b) Mostrar que a divergência do rotor de um campo vetorial é zero, ou seja,
.
a) Mostrar que o rotor do gradiente de uma função escalar
b) Mostrar que a divergência do rotor de um campo vetorial
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são gradiente, rotor e divergência, além das propriedades desses operadores em cálculo vetorial.
Passo 2
Vamos começar pela parte a)
.
Primeiro, o gradiente de uma função escalar
, denotado por
, é um campo vetorial que aponta na direção de maior crescimento de
e cuja magnitude representa a taxa de variação nessa direção.
O rotor (ou curl) de um campo vetorial mede a tendência desse campo de girar em torno de um ponto. Matematicamente, para um campo vetorial
, o rotor é dado por:
Agora, aplicando o rotor ao gradiente de
:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Como todas as componentes são zero, concluímos que:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b)
.
A divergência de um campo vetorial
é uma medida de quão “espalhado” o campo está em torno de um ponto e é dado por:
Já vimos que o rotor de
,
, é um campo vetorial que representa a tendência de rotação de
. Aplicando a divergência nesse rotor:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Observamos que, por causa da comutatividade das derivadas parciais, temos:
Substituindo, percebemos que cada par de termos se cancela:
Resposta
a)
b)
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais: (usando integração por partes: )
Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
a)
a)
Calcule a integral de linha para cada campo vetorial
e curva
parametrizada por
:
(b) cost,sent
(b)
Responda detalhadamente as questões abaixo:
(a) Defina a transformada de Fourier e sua inversa. Em seguida, faça um esboço para explicar a transformação entre os domínios do tempo e da frequência.
(a) Defina a transformada de Fourier e sua inversa. Em seguida, faça um esboço para explicar a transformação entre os domínios do tempo e da frequência.