F um campo vetorial em e um campo escalar em , mostre: a) b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com campos vetoriais e escalares em . Especificamente, temos duas partes para resolver:
a) Mostrar que o rotor do gradiente de uma função escalar é o vetor zero, ou seja, .
b) Mostrar que a divergência do rotor de um campo vetorial é zero, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são gradiente, rotor e divergência, além das propriedades desses operadores em cálculo vetorial.

Passo 2

Vamos começar pela parte a) .
Primeiro, o gradiente de uma função escalar , denotado por , é um campo vetorial que aponta na direção de maior crescimento de e cuja magnitude representa a taxa de variação nessa direção.
O rotor (ou curl) de um campo vetorial mede a tendência desse campo de girar em torno de um ponto. Matematicamente, para um campo vetorial , o rotor é dado por:
Agora, aplicando o rotor ao gradiente de :
Vamos calcular cada componente:
  • Primeira componente:
  • Segunda componente:
  • Terceira componente:
Como todas as componentes são zero, concluímos que:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b) .
A divergência de um campo vetorial é uma medida de quão “espalhado” o campo está em torno de um ponto e é dado por:
Já vimos que o rotor de , , é um campo vetorial que representa a tendência de rotação de . Aplicando a divergência nesse rotor:
Vamos simplificar cada termo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Observamos que, por causa da comutatividade das derivadas parciais, temos:
Substituindo, percebemos que cada par de termos se cancela:

Resposta

a)
b)

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais: (usando integração por partes: )
Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
a)
Calcule a integral de linha para cada campo vetorial e curva parametrizada por :
(b) cost,sent
Responda detalhadamente as questões abaixo:
(a) Defina a transformada de Fourier e sua inversa. Em seguida, faça um esboço para explicar a transformação entre os domínios do tempo e da frequência.