F um campo vetorial em R^3 e f um campo escalar em R^3, mostre: a) rot(nabla f) = 0 b) div(rot(F)) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com campos vetoriais e escalares em . Especificamente, temos duas partes para resolver:
a) Mostrar que o rotor do gradiente de uma função escalar f é o vetor zero, ou seja, .
b) Mostrar que a divergência do rotor de um campo vetorial F é zero, ou seja, div(rot(F)) = 0.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são gradiente, rotor e divergência, além das propriedades desses operadores em cálculo vetorial.

Passo 2

Vamos começar pela parte a) .
Primeiro, o gradiente de uma função escalar f, denotado por nabla f, é um campo vetorial que aponta na direção de maior crescimento de f e cuja magnitude representa a taxa de variação nessa direção.
O rotor (ou curl) de um campo vetorial mede a tendência desse campo de girar em torno de um ponto. Matematicamente, para um campo vetorial , o rotor é dado por:
Agora, aplicando o rotor ao gradiente de f:
Vamos calcular cada componente:
  • Primeira componente:
  • Segunda componente:
  • Terceira componente:
Como todas as componentes são zero, concluímos que:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b) div(rot(F)) = 0.
A divergência de um campo vetorial é uma medida de quão “espalhado” o campo está em torno de um ponto e é dado por:
Já vimos que o rotor de F, , é um campo vetorial que representa a tendência de rotação de F. Aplicando a divergência nesse rotor:
Vamos simplificar cada termo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Observamos que, por causa da comutatividade das derivadas parciais, temos:
Substituindo, percebemos que cada par de termos se cancela:

Resposta

a)
b)

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