Sejam e duas matrizes quadradas . Voltando ao caso a). Mostre que: Se e são duas matrizes quadradas , então se e somente se .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes quadradas , chamadas e . A gente precisa mostrar que se e somente se. Isso está relacionado com o conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre multiplicação de matrizes e comutatividade. Para resolver, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender quando duas matrizes comutam, ou seja, quando a ordem da multiplicação não altera o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir . Sabemos que, em álgebra, . Então, vamos fazer essa multiplicação:
Passo 3
Agora, comparemos isso com a expressão que queremos provar:
Para que , precisamos que . Vamos ver o que isso significa.
Passo 4
A igualdade pode ser rearranjada assim:
Isso mostra que, para que a expressão seja igual a , as matrizes e precisam comutar, ou seja, .
Passo 5
Agora, vamos provar o “se e somente se”. Já mostramos que se , então . Agora, precisamos mostrar o contrário: se , então .
Se , pela expansão feita no Passo 2, temos:
Subtraindo de ambos os lados:
Portanto, a igualdade das matrizes implica que elas comutam.