Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se e são duas matrizes e , então para todo número natural .
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se e são duas matrizes e , então para todo número natural .” Estamos lidando com o conteúdo de álgebra linear, especificamente com operações envolvendo matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas matrizes comutarem (ou seja, ) e como isso afeta a potência de um produto de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em geral, para duas matrizes e , o produto não é igual a . Quando , dizemos que e comutam. Isso é importante porque muitas propriedades que valem para números reais não se aplicam diretamente às matrizes devido à não comutatividade.
Passo 3
Agora, vamos considerar a potência de uma matriz. Para uma matriz e um número natural , significa multiplicar por si mesma vezes:
Passo 4
Aplicando isso ao produto (AB)^p = AB times AB times cdots times AB (p vezes) , temos:
(AB)^2 = AB times AB = A times B times A times B = A times A times B times B = A^2 B^2
Se e comutam, podemos rearranjar os termos nessa multiplicação. Por exemplo:
Esse rearranjo é possível somente porque .
Passo 5
De forma geral, por indução matemática, podemos mostrar que:
(AB)^p = A^p B^p
Sempre que e comutam. A propriedade de comutatividade permite que todas as fiquem juntas e todas as fiquem juntas em qualquer potência.
Resposta
Verdadeiro. Quando e comutam, a potência do produto é igual ao produto das potências de e , ou seja, para todo número natural .