Sabendo-se que para toda matriz,
existe uma matriz,
tal que
, mostre que: se
e
são matrizes
e
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que para qualquer matriz quadrada
com determinante diferente de zero, existe uma matriz inversa que, quando multiplicada pela original, dá a matriz identidade. O conteúdo aqui é sobre matrizes inversas e propriedades delas. Vamos precisar entender o que é uma matriz inversa e como usar essa propriedade para provar que, se duas matrizes multiplicadas numa ordem dão a identidade, elas também dão a identidade na ordem inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz inversa. Para uma matriz quadrada
, se existe uma matriz
tal que
, então
é a inversa de
, e escrevemos
. Isso significa que multiplicar
pela sua inversa resulta na matriz identidade.
Passo 3
Agora, o problema nos diz que temos duas matrizes
e
de tamanho
tal que
. Queremos mostrar que
também. Ou seja, se
é a inversa à direita de
, então
também é a inversa à esquerda de
.
Passo 4
Sabemos que se uma matriz tem uma inversa à direita, ela também tem uma inversa à esquerda, e essa inversa é única. Vamos usar o fato dado no enunciado: como
, então
é a inversa de
, ou seja,
.
Passo 5
Se
, então multiplicando ambos os lados da equação por
pela esquerda, temos:
E sabemos que
pela definição de matriz inversa.
Passo 6
Portanto, concluímos que
. Ou seja, se
, então necessariamente
.
Resposta
Assim, mostramos que se
, então
.