Sabendo-se que para toda matriz, n times n, A com det(A) neq 0 existe uma matriz, n times n, barA tal que barA A=In, mostre que: se B e C são matrizes n times n e B C=In então C B=In.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que para qualquer matriz quadrada n times n com determinante diferente de zero, existe uma matriz inversa que, quando multiplicada pela original, dá a matriz identidade. O conteúdo aqui é sobre matrizes inversas e propriedades delas. Vamos precisar entender o que é uma matriz inversa e como usar essa propriedade para provar que, se duas matrizes multiplicadas numa ordem dão a identidade, elas também dão a identidade na ordem inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz inversa. Para uma matriz quadrada A, se existe uma matriz barA tal que barAA = In, então barA é a inversa de A, e escrevemos barA = A^-1. Isso significa que multiplicar A pela sua inversa resulta na matriz identidade.

Passo 3

Agora, o problema nos diz que temos duas matrizes B e C de tamanho n times n tal que B C = In. Queremos mostrar que C B = In também. Ou seja, se B é a inversa à direita de C, então B também é a inversa à esquerda de C.

Passo 4

Sabemos que se uma matriz tem uma inversa à direita, ela também tem uma inversa à esquerda, e essa inversa é única. Vamos usar o fato dado no enunciado: como B C = In, então B é a inversa de C, ou seja, B = C^-1.

Passo 5

Se B = C^-1, então multiplicando ambos os lados da equação por C pela esquerda, temos:
C B = C C^-1
E sabemos que C C^-1 = In pela definição de matriz inversa.

Passo 6

Portanto, concluímos que C B = In. Ou seja, se B C = In, então necessariamente C B = In.

Resposta

Assim, mostramos que se B C = In, então C B = In.

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