Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se é uma matriz e então é invertível (i.é. para alguma matriz .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes quadradas (daquelas com o mesmo número de linhas e colunas) e pergunta se uma certa condição garante que a matriz é invertível. O conteúdo aqui é da álgebra linear, mais especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como manipular equações matriciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que quando você multiplica por , em qualquer ordem, o resultado é a matriz identidade . Ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos olhar para a equação dada: . Nosso objetivo é manipular essa equação para chegar em uma expressão que mostre que pode ser escrito como uma combinação das potências de . Se conseguirmos isso, significa que tem um inverso.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação:
Isso já está quase no ponto que queremos. Agora, podemos fatorar :
Aqui, estamos vendo que multiplicar por alguma combinação de suas potências e a matriz identidade dá . Isso sugere que a combinação dentro dos parênteses é o inverso de .
Passo 5
Assim, podemos identificar que:
é a matriz que, quando multiplicada por , resulta na identidade:
Portanto, é o inverso de , o que significa que é invertível.
Resposta
Verdadeiro. A matriz é invertível conforme a condição dada.