Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se A é uma matriz n times n e A^4-3 A^2+7 A-In=0 então A é invertível (i.é. A B=B A=In para alguma matriz B, n times n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes quadradas (daquelas com o mesmo número de linhas e colunas) e pergunta se uma certa condição garante que a matriz é invertível. O conteúdo aqui é da álgebra linear, mais especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como manipular equações matriciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que quando você multiplica por , em qualquer ordem, o resultado é a matriz identidade . Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a equação dada: . Nosso objetivo é manipular essa equação para chegar em uma expressão que mostre que pode ser escrito como uma combinação das potências de . Se conseguirmos isso, significa que tem um inverso.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação:
A^4 - 3A^2 + 7A = In
Isso já está quase no ponto que queremos. Agora, podemos fatorar A(A^3 - 3A + 7In) = In :
Aqui, estamos vendo que multiplicar por alguma combinação de suas potências e a matriz identidade dá . Isso sugere que a combinação dentro dos parênteses é o inverso de .

Passo 5

Assim, podemos identificar que:
B = A^3 - 3A + 7In
é a matriz que, quando multiplicada por AB = BA = In , resulta na identidade:
Portanto, é o inverso de , o que significa que é invertível.

Resposta

Verdadeiro. A matriz é invertível conforme a condição dada.

Exercícios relacionados

Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se A é matriz n times n e A^2=0 então A=0, aqui 0 é a matriz nula.
Sejam A=(ccc1 & -2 & -1 1 & 0 & -1 4 & -1 & 0) e X=(lx y z). Tente generalizar o que foi feito em a) e b) para a seguinte situação: Sejam A uma matriz m times n, B uma matriz n times k e C=A B. Se Cj é a j-ésima coluna de C, encontre Cj em termos das n colunas de A e da j-ésima coluna de B.
Seja M=(cccca & 0 & b & 2 a & a & 4 & 4 0 & a & 2 & b) a matriz ampliada (ou aumentada) do sistema linear. Para que valores de a e b o sistema admite: Solução com uma variável livre.
Considere o sistema A X=B, com
A=(rrc 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2-16 ) e B=(c 4 2 a+14 )
(b) Existem valores para a de forma que o sistema tenha infinitas soluções?