Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se é matriz e então , aqui é a matriz nula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação "Se é uma matriz e , então " é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes nilpotentes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser nilpotente. Uma matriz é chamada de nilpotente se existe algum número inteiro positivo tal que . No caso da afirmação, temos que , o que indica que é uma matriz nilpotente de índice 2.
Passo 3
Agora, a afirmação diz que se , então necessariamente tem que ser a matriz nula . Mas será que isso é sempre verdade? Vamos pensar: se uma matriz ao quadrado dá zero, será que ela já tinha que ser zero desde o início?
Passo 4
Na verdade, nem sempre. Podemos construir um exemplo de uma matriz que não é nula, mas que ao ser elevada ao quadrado resulta na matriz nula. Por exemplo, considere a seguinte matriz de ordem 2:
Vamos calcular :
$$
A^{2} = A \cdot A =
\cdot
= \mathbf{0}
$$
Aqui, vemos que , mas claramente .
Resposta
Falso. Existem matrizes não nulas que satisfazem , como o exemplo apresentado.