Sejam A=(ccc1 & -2 & -1 1 & 0 & -1 4 & -1 & 0) e X=(lx y z). Tente generalizar o que foi feito em a) e b) para a seguinte situação: Sejam A uma matriz m times n, B uma matriz n times k e C=A B. Se Cj é a j-ésima coluna de C, encontre Cj em termos das n colunas de A e da j-ésima coluna de B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz de dimensões e uma matriz de dimensões . Queremos descobrir como encontrar a -ésima coluna da matriz usando as colunas de e a -ésima coluna de . Basicamente, vamos entender como a multiplicação de matrizes funciona para extrair uma coluna específica do resultado.

Passo 2

Primeiro, lembremos como multiplicar duas matrizes. Quando multiplicamos por , cada elemento da matriz resultante é obtido fazendo o produto escalar das linhas de pelas colunas de . Mas como a gente quer focar na -ésima coluna de , vamos nos concentrar nessa parte específica.

Passo 3

Vamos chamar a Cj = A cdot Bj -ésima coluna de de . Ou seja, é um vetor coluna com elementos. A -ésima coluna de , que é , é resultado da multiplicação de por . Matematicamente, isso fica assim:

Passo 4

Agora, vamos entender o que essa multiplicação significa. A matriz Cj = Bj1A1 + Bj2A2 + ldots + BjnAn tem colunas, digamos . Então, multiplicar por é o mesmo que combinar essas colunas de com os elementos correspondentes de . Em outras palavras:
Aqui, são os elementos da coluna .

Passo 5

Então, o que fizemos foi expressar como uma combinação linear das colunas de , onde os coeficientes dessa combinação são os elementos da coluna . Isso nos dá uma forma geral de encontrar qualquer coluna de a partir das colunas de e da respectiva coluna de .

Resposta

A Cj = Bj1A1 + Bj2A2 + ldots + BjnAn -ésima coluna de é a soma das colunas de multiplicadas pelos respectivos elementos da -ésima coluna de . Matemáticamente:

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Considere o sistema A X=B, com
A=(rrc 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2-16 ) e B=(c 4 2 a+14 )
© Existem valores para a de forma que o sistema não tenha solução?
Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se A é uma matriz n times n e A^2=In então A=In ou A=-In ( In é a matriz identidade n times n ).
Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se A é matriz n times n e A^2=0 então A=0, aqui 0 é a matriz nula.
Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se A é uma matriz n times n e A^4-3 A^2+7 A-In=0 então A é invertível (i.é. A B=B A=In para alguma matriz B, n times n.