Sejam e X=(lx y z). Tente generalizar o que foi feito em a) e b) para a seguinte situação: Sejam A uma matriz m times n, B uma matriz n times k e C=A B. Se Cj é a j-ésima coluna de C, encontre Cj em termos das n colunas de A e da j-ésima coluna de B.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz de dimensões e uma matriz de dimensões . Queremos descobrir como encontrar a -ésima coluna da matriz usando as colunas de e a -ésima coluna de . Basicamente, vamos entender como a multiplicação de matrizes funciona para extrair uma coluna específica do resultado.
Passo 2
Primeiro, lembremos como multiplicar duas matrizes. Quando multiplicamos por , cada elemento da matriz resultante é obtido fazendo o produto escalar das linhas de pelas colunas de . Mas como a gente quer focar na -ésima coluna de , vamos nos concentrar nessa parte específica.
Passo 3
Vamos chamar a Cj = A cdot Bj -ésima coluna de de . Ou seja, é um vetor coluna com elementos. A -ésima coluna de , que é , é resultado da multiplicação de por . Matematicamente, isso fica assim:
Passo 4
Agora, vamos entender o que essa multiplicação significa. A matriz Cj = Bj1A1 + Bj2A2 + ldots + BjnAn tem colunas, digamos . Então, multiplicar por é o mesmo que combinar essas colunas de com os elementos correspondentes de . Em outras palavras:
Aqui, são os elementos da coluna .
Passo 5
Então, o que fizemos foi expressar como uma combinação linear das colunas de , onde os coeficientes dessa combinação são os elementos da coluna . Isso nos dá uma forma geral de encontrar qualquer coluna de a partir das colunas de e da respectiva coluna de .
Resposta
A Cj = Bj1A1 + Bj2A2 + ldots + BjnAn -ésima coluna de é a soma das colunas de multiplicadas pelos respectivos elementos da -ésima coluna de . Matemáticamente: