Seja a matriz ampliada (ou aumentada) do sistema linear. Para que valores de a e b o sistema admite: Solução com uma variável livre.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz ampliada que representa um sistema linear. Queremos descobrir para quais valores de e esse sistema tem uma solução com uma variável livre. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, mas dependem de uma variável que pode assumir qualquer valor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como operações com matrizes e análise da consistência do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema:
M = a & 0 & b & 2 a & a & 4 & 4 0 & a & 2 & b
Nessa matriz, as três primeiras colunas representam os coeficientes das variáveis e a última coluna representa os termos constantes.
Passo 3
Nosso objetivo é simplificar essa matriz para descobrir as condições sobre Linha 2 = Linha 2 - Linha 1 e a & 0 & b & 2 0 & a & 4 - b & 2 0 & a & 2 & b . Vamos começar fazendo operações de linha para facilitar essa análise. Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda para eliminar o da segunda linha:
Isso fica assim:
Passo 4
Agora, vamos focar nas duas últimas linhas da matriz. Podemos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar ainda mais. Se subtrairmos a segunda linha da terceira, teremos:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2
Resultando em:
a & 0 & b & 2 0 & a & 4 - b & 2 0 & 0 & b - 2 & b - 2
Passo 5
Agora, observamos a última linha da matriz simplificada:
0x + 0y + (b - 2)z = b - 2
Essa equação pode ser escrita como:
(b - 2)z = b - 2
Temos duas situações aqui:
Se : Podemos dividir ambos os lados por , obtendo .
Se : A equação se torna , o que não impõe nenhuma restrição sobre . Nesse caso, pode ser qualquer número, ou seja, é uma variável livre.
Passo 6
Vamos analisar cada caso:
Caso :
Encontramos um valor específico para ().
Substituindo nas outras equações, podemos encontrar valores específicos para e , resultando em uma única solução sem variáveis livres.
Caso :
é uma variável livre.
Substituindo nas equações anteriores, vemos que as soluções para e dependerão de .
Para garantir que temos exatamente uma variável livre, precisamos que . Se , acabaríamos com mais de uma variável livre.
Resposta
O sistema admite uma solução com uma variável livre quando e .