Seja M=(cccca & 0 & b & 2 a & a & 4 & 4 0 & a & 2 & b) a matriz ampliada (ou aumentada) do sistema linear. Para que valores de a e b o sistema admite: Solução com uma variável livre.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz ampliada que representa um sistema linear. Queremos descobrir para quais valores de e esse sistema tem uma solução com uma variável livre. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, mas dependem de uma variável que pode assumir qualquer valor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como operações com matrizes e análise da consistência do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema:
M = a & 0 & b & 2 a & a & 4 & 4 0 & a & 2 & b
Nessa matriz, as três primeiras colunas representam os coeficientes das variáveis e a última coluna representa os termos constantes.

Passo 3

Nosso objetivo é simplificar essa matriz para descobrir as condições sobre Linha 2 = Linha 2 - Linha 1 e a & 0 & b & 2 0 & a & 4 - b & 2 0 & a & 2 & b . Vamos começar fazendo operações de linha para facilitar essa análise. Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda para eliminar o da segunda linha:
Isso fica assim:

Passo 4

Agora, vamos focar nas duas últimas linhas da matriz. Podemos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar ainda mais. Se subtrairmos a segunda linha da terceira, teremos:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2
Resultando em:
a & 0 & b & 2 0 & a & 4 - b & 2 0 & 0 & b - 2 & b - 2

Passo 5

Agora, observamos a última linha da matriz simplificada:
0x + 0y + (b - 2)z = b - 2
Essa equação pode ser escrita como:
(b - 2)z = b - 2
Temos duas situações aqui:
  1. Se : Podemos dividir ambos os lados por , obtendo .
  2. Se : A equação se torna , o que não impõe nenhuma restrição sobre . Nesse caso, pode ser qualquer número, ou seja, é uma variável livre.

Passo 6

Vamos analisar cada caso:
  1. Caso :
    • Encontramos um valor específico para ( ).
    • Substituindo nas outras equações, podemos encontrar valores específicos para e , resultando em uma única solução sem variáveis livres.
  2. Caso :
    • é uma variável livre.
    • Substituindo nas equações anteriores, vemos que as soluções para e dependerão de .
    • Para garantir que temos exatamente uma variável livre, precisamos que . Se , acabaríamos com mais de uma variável livre.

Resposta

O sistema admite uma solução com uma variável livre quando e .

Exercícios relacionados

Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se A é uma matriz n times n e A^4-3 A^2+7 A-In=0 então A é invertível (i.é. A B=B A=In para alguma matriz B, n times n.
Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se A é matriz n times n e A^2=0 então A=0, aqui 0 é a matriz nula.
Considere o sistema A X=B, com
A=(rrc 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2-16 ) e B=(c 4 2 a+14 )
(b) Existem valores para a de forma que o sistema tenha infinitas soluções?
Sejam A e B duas matrizes quadradas n times n. Voltando ao caso a). Mostre que: Se A e B são duas matrizes quadradas n times n, então (A+B)^2= A^2+2 A B+B^2 se e somente se A B=B A.