Sejam
e
dois vetores de comprimentos iguais, mostre que para quaisquer números
e
, os vetores
e
têm o mesmo comprimento. O que significa isso?
Passo 1
Então, a gente tem dois vetores, o
e o
, que têm o mesmo comprimento. A questão pede para mostrar que, para quaisquer números
e
, os vetores
e
têm o mesmo comprimento. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre combinações lineares de vetores e como calcular o comprimento de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de um vetor. Se temos um vetor
, o comprimento dele é dado por:
Mas para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com o comprimento ao quadrado, que é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o comprimento ao quadrado de
. Primeiro, somamos os vetores:
O comprimento ao quadrado desse vetor é:
Usando a propriedade distributiva do produto escalar, temos:
Passo 4
Da mesma forma, vamos calcular o comprimento ao quadrado de
:
Novamente, aplicando a propriedade distributiva:
Passo 5
Agora, observamos que
, já que os vetores têm o mesmo comprimento. Vamos chamar esse comprimento de
, então:
Além disso, o produto escalar é comutativo, ou seja,
.
Passo 6
Substituindo essas igualdades nas expressões anteriores:
Vemos que as duas expressões são iguais.
Resposta
Portanto, os vetores
e
têm o mesmo comprimento. Isso significa que a ordem em que combinamos os vetores não afeta o tamanho do vetor resultante quando os vetores iniciais têm o mesmo comprimento.