Sejam u e v dois vetores de comprimentos iguais, mostre que para quaisquer números a e b, os vetores a u+b v e a v+b u têm o mesmo comprimento. O que significa isso?

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores, o e o , que têm o mesmo comprimento. A questão pede para mostrar que, para quaisquer números e , os vetores e têm o mesmo comprimento. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre combinações lineares de vetores e como calcular o comprimento de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de um vetor. Se temos um vetor |w| = raizw1^2 + w2^2 + dots + wn^2 , o comprimento dele é dado por:
|w|^2 = w1^2 + w2^2 + dots + wn^2
Mas para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com o comprimento ao quadrado, que é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o comprimento ao quadrado de au + bv . Primeiro, somamos os vetores:
|au + bv|^2 = (au + bv) cdot (au + bv)
O comprimento ao quadrado desse vetor é:
a^2 |u|^2 + 2ab (u cdot v) + b^2 |v|^2
Usando a propriedade distributiva do produto escalar, temos:

Passo 4

Da mesma forma, vamos calcular o comprimento ao quadrado de |av + bu|^2 = (av + bu) cdot (av + bu) :
a^2 |v|^2 + 2ab (v cdot u) + b^2 |u|^2
Novamente, aplicando a propriedade distributiva:

Passo 5

Agora, observamos que |u| = |v| = c , já que os vetores têm o mesmo comprimento. Vamos chamar esse comprimento de , então:
Além disso, o produto escalar é comutativo, ou seja, .

Passo 6

Substituindo essas igualdades nas expressões anteriores:
|au + bv|^2 = a^2 c^2 + 2ab (u cdot v) + b^2 c^2
|av + bu|^2 = a^2 c^2 + 2ab (u cdot v) + b^2 c^2
Vemos que as duas expressões são iguais.

Resposta

Portanto, os vetores e têm o mesmo comprimento. Isso significa que a ordem em que combinamos os vetores não afeta o tamanho do vetor resultante quando os vetores iniciais têm o mesmo comprimento.

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