Seja
. Mostre que: Se
é uma matriz
então
se e somente se
.
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz
e queremos mostrar que, para qualquer matriz
de
,
comuta com
(ou seja,
) se e somente se
tem a forma
. A gente vai usar conceitos de multiplicação de matrizes e igualdade de matrizes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma matriz
genérica de
:
A gente vai calcular
e
separadamente para ver o que acontece quando elas são iguais.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Para que
, as correspondentes entradas das duas matrizes devem ser iguais. Assim, temos as seguintes equações:
Observando as equações 1 e 4, vemos que elas confirmam que
. A equação 2 nos dá
, e a equação 3 também confirma isso, já que
implica
.
Resposta
Portanto, a matriz
que comuta com
deve ter a forma:
Exercícios relacionados
Sejam
e
dois vetores de comprimentos iguais, mostre que para quaisquer números
e
, os vetores
e
têm o mesmo comprimento. O que significa isso?
Determine a extremidade ou a origem do segmento orientado nos seguintes casos: Representa o vetor
e sua origem é o ponto
.
Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). A única matriz
simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula.
Decida quais das matrizes abaixo estão na forma escada (ou escalonada reduzida). Para as que não estão encontre as suas respetivas matrizes na forma escada.