Responda Falso ou Verdadeiro, justificando sua resposta:
b) Se excluirmos um vetor não nulo de um conjunto
o conjunto se torna
;
b) Se excluirmos um vetor não nulo de um conjunto
Passo 1
Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos um conjunto de vetores que é linearmente dependente (
). A afirmação diz que, se a gente remover um vetor que não é o vetor nulo desse conjunto, ele se torna linearmente independente (
). Para resolver, precisamos saber o que significam esses termos e como a dependência ou independência muda quando removemos vetores.
Passo 2
Linearmente Dependente (
): Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso quer dizer que há redundância nos vetores do conjunto.
Linearmente Independente (
): Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Cada vetor adiciona uma nova “direção” ao conjunto.
Passo 3
Quando temos um conjunto
e removemos um vetor não nulo, vários cenários podem ocorrer:
-
Redução da Dependência: Se o vetor removido era o que estava tornando o conjunto dependente (ou seja, ele era uma combinação dos outros), então o conjunto restante pode se tornar
. -
Dependência Continua: Se o conjunto ainda tiver vetores que são combinações dos outros mesmo após a remoção, ele continua
.
Passo 4
Portanto, a afirmação de que "ao excluir um vetor não nulo de um conjunto
, o conjunto se torna
" não é sempre verdadeira. Depende da estrutura específica do conjunto de vetores.
Resposta
Falso. Remover um vetor não nulo de um conjunto linearmente dependente não garante que o conjunto resultante seja linearmente independente, pois ainda pode haver dependência entre os vetores restantes.