O que é um superfície parametrizada? O que são suas curvas de grade? Escreva uma expressão para a área de uma superfície parametrizada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão fala sobre superfícies parametrizadas, suas curvas de grade e como calcular a área dessa superfície. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de parametrização de superfícies, curvas de grade e a fórmula para calcular a área de uma superfície parametrizada.

Passo 2

Superfície Parametrizada: Imagine que você tem uma superfície no espaço, como uma esfera ou uma paraboloide. Para parametrizar essa superfície, a gente usa duas variáveis, geralmente e , para descrever cada ponto da superfície. Então, uma superfície parametrizada pode ser representada por uma função vetorial .

Passo 3

Curvas de Grade: São as curvas que você obtém mantendo uma das variáveis constantes. Por exemplo, se você mantém constante e varia , você obtém uma curva chamada de curva de linha “u-fixa”. Da mesma forma, ao manter constante e variar , você obtém uma curva de linha “v-fixa”. Essas curvas ajudam a visualizar e desenhar a superfície.

Passo 4

Calculando a Área da Superfície: Para encontrar a área de uma superfície parametrizada, usamos a fórmula que envolve o produto vetorial das derivadas parciais da função vetorial . A fórmula geral é:
Á
Aqui, e são as derivadas parciais da parametrização em relação a e , respectivamente, e o representa o produto vetorial. O módulo desse produto vetorial dá a “área infinitesimal” da pequena parte da superfície, e ao integrar isso sobre a região dos parâmetros e , obtemos a área total da superfície.

Resposta

Uma superfície parametrizada é uma superfície descrita por uma função vetorial que depende de duas variáveis, e . Suas curvas de grade são as curvas obtidas mantendo uma das variáveis constante enquanto a outra varia. A expressão para a área de uma superfície parametrizada é dada por:
Á

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(a) Defina rot .
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