Suponha que seja um campo vetorial sobre . Defina
(a) Defina rot .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para definir o rotacional (ou “rot”) de um campo vetorial no espaço tridimensional . Isso é parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente envolvendo operações como o gradiente, divergente e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender como o rotacional é calculado e qual é a sua interpretação geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial em é uma função que atribui um vetor a cada ponto no espaço. Por exemplo, , onde , e são funções das coordenadas , e .
Passo 3
O rotacional, denotado por ou simplesmente , é uma operação que mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto. Em outras palavras, ele nos diz como o campo está “girando” em cada ponto do espaço.
Passo 4
Para calcular o rotacional de , usamos o operador nabla () cruzado com o campo vetorial . A fórmula em coordenadas cartesianas fica assim:
Passo 5
Vamos detalhar cada componente:
A componente é a diferença entre a derivada parcial de em relação a e a derivada parcial de em relação a .
A componente é a diferença entre a derivada parcial de em relação a e a derivada parcial de em relação a .
A componente é a diferença entre a derivada parcial de em relação a e a derivada parcial de em relação a .
Passo 6
Em forma matricial, o rotacional pode ser lembrado usando a seguinte matriz determinante:
Isso ajuda a visualizar como cada componente do rotacional é calculado.