Suponha que F seja um campo vetorial sobre R^3. Defina
(a) Defina rot F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para definir o rotacional (ou “rot”) de um campo vetorial F no espaço tridimensional R^3. Isso é parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente envolvendo operações como o gradiente, divergente e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender como o rotacional é calculado e qual é a sua interpretação geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial F em R^3 é uma função que atribui um vetor a cada ponto no espaço. Por exemplo, , onde , e são funções das coordenadas x, y e z.

Passo 3

O rotacional, denotado por ou simplesmente , é uma operação que mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto. Em outras palavras, ele nos diz como o campo está “girando” em cada ponto do espaço.

Passo 4

Para calcular o rotacional de F, usamos o operador nabla ( nabla) cruzado com o campo vetorial F. A fórmula em coordenadas cartesianas fica assim:

Passo 5

Vamos detalhar cada componente:
  • A componente i é a diferença entre a derivada parcial de em relação a y e a derivada parcial de em relação a z.
  • A componente j é a diferença entre a derivada parcial de em relação a z e a derivada parcial de em relação a x.
  • A componente k é a diferença entre a derivada parcial de em relação a x e a derivada parcial de em relação a y.

Passo 6

Em forma matricial, o rotacional pode ser lembrado usando a seguinte matriz determinante:
Isso ajuda a visualizar como cada componente do rotacional é calculado.

Resposta

Portanto, o rotacional de F é dado por:

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