Suponha que seja um campo vetorial sobre . Defina
(a) Defina rot .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para definir o rotacional (ou “rot”) de um campo vetorial no espaço tridimensional . Isso é parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente envolvendo operações como o gradiente, divergente e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender como o rotacional é calculado e qual é a sua interpretação geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial em é uma função que atribui um vetor a cada ponto no espaço. Por exemplo, , onde , e são funções das coordenadas , e .

Passo 3

O rotacional, denotado por ou simplesmente , é uma operação que mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto. Em outras palavras, ele nos diz como o campo está “girando” em cada ponto do espaço.

Passo 4

Para calcular o rotacional de , usamos o operador nabla ( ) cruzado com o campo vetorial . A fórmula em coordenadas cartesianas fica assim:

Passo 5

Vamos detalhar cada componente:
  • A componente é a diferença entre a derivada parcial de em relação a e a derivada parcial de em relação a .
  • A componente é a diferença entre a derivada parcial de em relação a e a derivada parcial de em relação a .
  • A componente é a diferença entre a derivada parcial de em relação a e a derivada parcial de em relação a .

Passo 6

Em forma matricial, o rotacional pode ser lembrado usando a seguinte matriz determinante:
Isso ajuda a visualizar como cada componente do rotacional é calculado.

Resposta

Portanto, o rotacional de é dado por:

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Responda os itens abaixo:
© Escreva expressões para a massa e para o centro de massa de um arame fino com o formato da curva se o arame tiver função densidade linear .
Suponha que seja um campo vetorial sobre . Defina
(b) Defina div .
O que é um superfície parametrizada? O que são suas curvas de grade? Escreva uma expressão para a área de uma superfície parametrizada.
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