Responda as questões abaixo: que determina o potencial elétrico máximo que um gerador de Van der Graaff pode atingir?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o potencial elétrico máximo que um gerador de Van de Graaff pode atingir. Isso está dentro da matéria de eletrostática, que estuda as cargas elétricas em repouso e os potenciais elétricos que elas criam. Para resolver isso, vamos precisar entender como o potencial elétrico é limitado no gerador de Van de Graaff, principalmente pela resistência do ar à formação de descargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gerador de Van de Graaff acumula cargas elétricas em uma esfera metálica. O potencial elétrico V = 14pivarepsilon0 cdot Qr nessa esfera depende da quantidade de carga acumulada e do raio da esfera. A relação entre o potencial elétrico, a carga e o raio é dada por:
Onde é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, precisamos saber o que limita o aumento do potencial elétrico nesse gerador. O principal fator limitante é a descarga elétrica. Quando o campo elétrico na superfície da esfera atinge um valor crítico, o ar ao redor se torna condutor e ocorre uma descarga, como uma faísca. Esse valor crítico do campo elétrico no ar é conhecido como campo de ruptura ( ), que é aproximadamente .

Passo 4

Para evitar a descarga, o campo elétrico na superfície da esfera não pode ultrapassar esse valor crítico. O campo elétrico na superfície de uma esfera carregada é dado por:
E = 14pivarepsilon0 cdot Qr^2
Como queremos que 14pivarepsilon0 cdot Qr^2 <= Eruptura , temos:

Passo 5

Podemos rearranjar essa desigualdade para encontrar a carga máxima Qmax <= 4pivarepsilon0 Eruptura r^2 :
Vmax = 14pivarepsilon0 cdot Qmaxr = 14pivarepsilon0 cdot 4pivarepsilon0 Eruptura r^2r = Eruptura cdot r
Agora, substituindo na fórmula do potencial elétrico:

Passo 6

Assim, o potencial elétrico máximo Vmax = Eruptura cdot r que o gerador de Van de Graaff pode atingir é diretamente proporcional ao raio da esfera do gerador:

Resposta

O potencial elétrico máximo que um gerador de Van de Graaff pode atingir é dado por , onde é o campo de ruptura do ar ( ) e é o raio da esfera do gerador. Portanto, aumentando o raio da esfera, conseguimos aumentar o potencial máximo antes que ocorra uma descarga elétrica.

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