Quando um condutor esférico descarregado de raio
é colocado na origem de um sistema de coordenadas xyz que se encontra em um campo elétrico inicialmente uniforme
, o potencial elétrico resultante é
para pontos no interior da esfera e
para pontos fora da esfera, onde
é o potencial elétrico sobre o condutor. Use esta equação para determinar as componentes x , y e z do campo elétrico resultante (a) dentro e (b) fora da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma esfera condutora descarregada de raio
colocada na origem de um sistema de coordenadas
. Inicialmente, há um campo elétrico uniforme na direção
, ou seja,
. Depois de colocar a esfera, o potencial elétrico
muda. Ele é constante dentro da esfera (
) e tem uma expressão diferente fora dela.
A pergunta quer que a gente use essa expressão do potencial para encontrar as componentes
,
e
do campo elétrico resultante. Vamos fazer isso em duas partes:
(a) Dentro da esfera.
(b) Fora da esfera.
(a) Dentro da esfera.
(b) Fora da esfera.
Pra resolver isso, vamos usar a relação entre o campo elétrico
e o potencial elétrico
, que é dada por:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): Dentro da esfera.
Dentro da esfera, o potencial
é constante e igual a
. Então, o que isso significa para o gradiente de
?
Bem, o gradiente de uma função constante é zero. Matematicamente:
Porque não há mudança no potencial em nenhuma direção dentro da esfera.
Passo 3
Então, aplicando a relação
, temos:
Isso quer dizer que o campo elétrico dentro da esfera é zero em todas as direções. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): Fora da esfera.
Fora da esfera, o potencial é dado por:
Queremos encontrar as componentes
,
e
do campo elétrico nessa região.
Lembrando que:
Passo 5
Vamos calcular cada derivada parcial.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Somente o último termo depende de
, então:
Vamos derivar usando a regra da potência:
Onde
. Então:
Passo 6
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Novamente, apenas o último termo depende de
:
Fazendo a derivada:
Portanto:
Passo 7
Finalmente, a derivada parcial de
em relação a
:
Vamos dividir a derivada em duas partes: a derivada de
e a derivada do denominador.
Usando a regra do quociente:
Então:
Passo 8
Agora, juntando tudo, temos as componentes do campo elétrico:
Resposta
(a) Dentro da esfera:
(b) Fora da esfera: