Quando um condutor esférico descarregado de raio é colocado na origem de um sistema de coordenadas xyz que se encontra em um campo elétrico inicialmente uniforme , o potencial elétrico resultante é para pontos no interior da esfera e
para pontos fora da esfera, onde é o potencial elétrico sobre o condutor. Use esta equação para determinar as componentes x , y e z do campo elétrico resultante (a) dentro e (b) fora da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma esfera condutora descarregada de raio colocada na origem de um sistema de coordenadas . Inicialmente, há um campo elétrico uniforme na direção , ou seja, . Depois de colocar a esfera, o potencial elétrico muda. Ele é constante dentro da esfera ( ) e tem uma expressão diferente fora dela.
A pergunta quer que a gente use essa expressão do potencial para encontrar as componentes , e do campo elétrico resultante. Vamos fazer isso em duas partes:
(a) Dentro da esfera.
(b) Fora da esfera.
Pra resolver isso, vamos usar a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico , que é dada por:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Dentro da esfera.
Dentro da esfera, o potencial é constante e igual a . Então, o que isso significa para o gradiente de ?
Bem, o gradiente de uma função constante é zero. Matematicamente:
Porque não há mudança no potencial em nenhuma direção dentro da esfera.

Passo 3

Então, aplicando a relação , temos:
Isso quer dizer que o campo elétrico dentro da esfera é zero em todas as direções. Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): Fora da esfera.
Fora da esfera, o potencial é dado por:
Queremos encontrar as componentes , e do campo elétrico nessa região.
Lembrando que:

Passo 5

Vamos calcular cada derivada parcial.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Somente o último termo depende de , então:
Vamos derivar usando a regra da potência:
Onde . Então:

Passo 6

Agora, a derivada parcial de em relação a :
Novamente, apenas o último termo depende de :
Fazendo a derivada:
Portanto:

Passo 7

Finalmente, a derivada parcial de em relação a :
Vamos dividir a derivada em duas partes: a derivada de e a derivada do denominador.
Usando a regra do quociente:
Então:

Passo 8

Agora, juntando tudo, temos as componentes do campo elétrico:

Resposta

(a) Dentro da esfera:
(b) Fora da esfera:

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