Quando um condutor esférico descarregado de raio a é colocado na origem de um sistema de coordenadas xyz que se encontra em um campo elétrico inicialmente uniforme E=E0 widehatk, o potencial elétrico resultante é V(x, y, z)=V0 para pontos no interior da esfera e
V(x, y, z)=V0-E0+E0 a^3 z /(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 para pontos fora da esfera, onde V0 é o potencial elétrico sobre o condutor. Use esta equação para determinar as componentes x , y e z do campo elétrico resultante (a) dentro e (b) fora da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma esfera condutora descarregada de raio E = -nabla V colocada na origem de um sistema de coordenadas . Inicialmente, há um campo elétrico uniforme na direção , ou seja, . Depois de colocar a esfera, o potencial elétrico muda. Ele é constante dentro da esfera ( ) e tem uma expressão diferente fora dela.
A pergunta quer que a gente use essa expressão do potencial para encontrar as componentes , e do campo elétrico resultante. Vamos fazer isso em duas partes:
(a) Dentro da esfera.
(b) Fora da esfera.
Pra resolver isso, vamos usar a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico , que é dada por:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Dentro da esfera.
Dentro da esfera, o potencial nabla V = 0 é constante e igual a . Então, o que isso significa para o gradiente de ?
Bem, o gradiente de uma função constante é zero. Matematicamente:
Porque não há mudança no potencial em nenhuma direção dentro da esfera.

Passo 3

Então, aplicando a relação E = -0 = 0 , temos:
Ex = 0, Ey = 0, Ez = 0
Isso quer dizer que o campo elétrico dentro da esfera é zero em todas as direções. Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): Fora da esfera.
Fora da esfera, o potencial é dado por:
V(x, y, z) = V0 - E0 + E0 a^3 z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2
Queremos encontrar as componentes E = -nabla V = -( partial Vpartial x i + partial Vpartial y j + partial Vpartial z k ) , e do campo elétrico nessa região.
Lembrando que:

Passo 5

Vamos calcular cada derivada parcial.
Primeiro, a derivada parcial de partial Vpartial x = partialpartial x ( V0 - E0 + E0 a^3 z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 ) em relação a partial Vpartial x = E0 a^3 z cdot partialpartial x ( (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 ) :
partialpartial x ( r^-3/2 ) = -32 r^-5/2 cdot 2x = -3x r^-5/2
Somente o último termo depende de partial Vpartial x = E0 a^3 z (-3x) (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 = -3 E0 a^3 x z (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 , então:
Vamos derivar usando a regra da potência:
Onde . Então:

Passo 6

Agora, a derivada parcial de partial Vpartial y = partialpartial y ( V0 - E0 + E0 a^3 z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 ) em relação a partial Vpartial y = E0 a^3 z cdot partialpartial y ( (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 ) :
partialpartial y ( r^-3/2 ) = -32 r^-5/2 cdot 2y = -3y r^-5/2
Novamente, apenas o último termo depende de partial Vpartial y = E0 a^3 z (-3y) (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 = -3 E0 a^3 y z (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 :
Fazendo a derivada:
Portanto:

Passo 7

Finalmente, a derivada parcial de partial Vpartial z = partialpartial z ( V0 - E0 + E0 a^3 z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 ) em relação a partialpartial z ( zr^3 ) = r^3 cdot 1 - z cdot 3r^2 cdot zrr^6 = r^3 - 3z^2r^6 = r^2 - 3z^2r^5 :
partial Vpartial z = E0 a^3 ( r^2 - 3z^2r^5 ) = E0 a^3 (x^2 + y^2 + z^2) - 3z^2(x^2 + y^2 + z^2)^5/2 = E0 a^3 x^2 + y^2 - 2z^2(x^2 + y^2 + z^2)^5/2
Vamos dividir a derivada em duas partes: a derivada de e a derivada do denominador.
Usando a regra do quociente:
Então:

Passo 8

Agora, juntando tudo, temos as componentes do campo elétrico:
Ex = -partial Vpartial x = 3 E0 a^3 x z (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2
Ey = -partial Vpartial y = 3 E0 a^3 y z (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2
Ez = -partial Vpartial z = -E0 a^3 x^2 + y^2 - 2z^2(x^2 + y^2 + z^2)^5/2

Resposta

(a) Dentro da esfera:
Ex = 0, Ey = 0, Ez = 0
(b) Fora da esfera:
Ex = 3 E0 a^3 x z (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2, Ey = 3 E0 a^3 y z (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2, Ez = -E0 a^3 x^2 + y^2 - 2z^2(x^2 + y^2 + z^2)^5/2

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