Responda as questões abaixo:
A - A partir de um balanço de energia em um volume de controle, deduza a equação geral da condução de calor em coordenadas retangulares.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos, a partir de um balanço de energia em um volume de controle, deduzir a equação geral da condução de calor em coordenadas retangulares. Isso envolve conceitos de Termodinâmica, especialmente o primeiro princípio da termodinâmica aplicado a sistemas de energia, além de transferência de calor por condução. Para resolver isso, vamos usar o balanço de energia e a Lei de Fourier para condução de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do primeiro princípio da termodinâmica para um sistema fechado, que basicamente diz que a energia interna do sistema muda de acordo com a energia adicionada por calor e trabalho. No nosso caso, focaremos apenas no calor transferido por condução.

Passo 3

Em seguida, consideramos a Lei de Fourier da condução de calor, que afirma que o fluxo de calor q = -k nabla T é proporcional ao gradiente de temperatura :
onde é a condutividade térmica do material.

Passo 4

Aplicamos o balanço de energia no volume de controle, considerando que a variação da energia interna é igual ao fluxo de calor que entra menos o que sai. Em termos matemáticos, isso fica:
partial Tpartial t = 1rho cp nabla cdot (k nabla T)
Aqui, é a densidade e é a capacidade calorífica a pressão constante.

Passo 5

Finalmente, expandimos a equação em coordenadas retangulares partial Tpartial t = krho cp ( partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2 ) . Aplicando a divergência em coordenadas retangulares, obtemos a equação geral da condução de calor:

Resposta

A equação geral da condução de calor em coordenadas retangulares é:
partial Tpartial t = krho cp ( partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2 )

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