Encontre uma base e a dimensão do subespaço de R^3
W=(a-2 b-2 c+d, 2 a-5 c+d,-4 b+c+d) in R^3 ; a, b, c, d in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que é uma base e como determinar a dimensão de um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o subespaço W = (a - 2b - 2c + d, 2a - 5c + d, -4b + c + d) in R^3; a, b, c, d in R . Ele é definido por combinações lineares das coordenadas . A gente tem:
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito dessa forma.

Passo 3

Para encontrar uma base, vamos expressar x = a - 2b - 2c + d y = 2a - 5c + d z = -4b + c + d em termos das variáveis livres. Vamos considerar como variáveis livres e resolver para .
Olha só:
Podemos reescrever essas equações para expressar em função de .

Passo 4

Vamos resolver as equações para isolar x = a - 2b - 2c + d (1) y = 2a - 5c + d (2) . Das primeiras duas equações:
y - x = a - 3c Rightarrow a = y - x + 3c
Subtraindo a equação (1) da (2):
x = (y - x + 3c) - 2b - 2c + d x = y - x + c - 2b + d Rightarrow d = 2x - y + 2b - c
Agora, substituímos na equação (1):

Passo 5

Agora, vamos expressar z = -4b + c + d z = -4b + c + (2x - y + 2b - c) z = 2x - y - 2b usando a expressão encontrada para :
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 6

Vamos escolher b = 2x - y - z2 d = 2x - y + 2(2x - y - z2) - c d = 2x - y + (2x - y - z) - c d = 4x - 2y - z - c e como parâmetros livres. Assim, podemos escrever e em termos de :
Agora, expressamos os vetores em em função de .

Passo 7

Podemos escrever qualquer vetor (x, y, z) = x(1, 2, 2) + y(0, -1, -2) + c(-2, 0, 1) em como:
Isso mostra que é gerado pelos vetores , e .

Passo 8

Para encontrar uma base, precisamos que os vetores que geram 1 & 0 & -2 2 & -1 & 0 2 & -2 & 1 sejam linearesmente independentes. Vamos verificar se isso ocorre.
Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
det = 1(-1 cdot 1 - 0 cdot -2) - 0(2 cdot 1 - 0 cdot 2) + (-2)(2 cdot -2 - (-1) cdot 2) = 1(-1) + 0 + (-2)(-4) = -1 + 8 = 7 neq 0
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 3.

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