Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que é uma base e como determinar a dimensão de um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o subespaço . Ele é definido por combinações lineares das coordenadas . A gente tem:
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito dessa forma.
Passo 3
Para encontrar uma base, vamos expressar em termos das variáveis livres. Vamos considerar como variáveis livres e resolver para .
Olha só:
Podemos reescrever essas equações para expressar em função de .
Passo 4
Vamos resolver as equações para isolar . Das primeiras duas equações:
Subtraindo a equação (1) da (2):
Agora, substituímos na equação (1):
Passo 5
Agora, vamos expressar usando a expressão encontrada para :
Isso nos dá uma relação entre e .
Passo 6
Vamos escolher e como parâmetros livres. Assim, podemos escrever e em termos de :
Agora, expressamos os vetores em em função de .
Passo 7
Podemos escrever qualquer vetor em como:
Isso mostra que é gerado pelos vetores , e .
Passo 8
Para encontrar uma base, precisamos que os vetores que geram sejam linearesmente independentes. Vamos verificar se isso ocorre.
Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.