Encontre uma base e a dimensão do subespaço de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que é uma base e como determinar a dimensão de um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o subespaço . Ele é definido por combinações lineares das coordenadas . A gente tem:
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito dessa forma.

Passo 3

Para encontrar uma base, vamos expressar em termos das variáveis livres. Vamos considerar como variáveis livres e resolver para .
Olha só:
Podemos reescrever essas equações para expressar em função de .

Passo 4

Vamos resolver as equações para isolar . Das primeiras duas equações:
Subtraindo a equação (1) da (2):
Agora, substituímos na equação (1):

Passo 5

Agora, vamos expressar usando a expressão encontrada para :
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 6

Vamos escolher e como parâmetros livres. Assim, podemos escrever e em termos de :
Agora, expressamos os vetores em em função de .

Passo 7

Podemos escrever qualquer vetor em como:
Isso mostra que é gerado pelos vetores , e .

Passo 8

Para encontrar uma base, precisamos que os vetores que geram sejam linearesmente independentes. Vamos verificar se isso ocorre.
Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 3.

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Seja dada por
(a) Encontre a matriz de em relação as bases canônicas.
Responda VERDADEIRO ou FALSO, com uma breve justificativa ou contra-exemplo: i-( ) Se é um subconjunto LD, então é LD ou é LD; ii-( ) Se uma transformação linear é diagonalizável, então possui 2 autovalores reais distintos;