Seja T: R^4 R^3 dada por
T(a, b, c, d)=(a-2 b-2 c+d, 2 a-5 c+d,-4 b+c+d)
(a) Encontre [T] a matriz de T em relação as bases canônicas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de transformações lineares, que é parte da álgebra linear. A gente precisa encontrar a matriz que representa a transformação nas bases canônicas. Basicamente, vamos ver como age nos vetores padrão do espaço e montar uma matriz com esses resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as bases canônicas. No , as bases canônicas são os vetores , , e . Esses vetores formam a base padrão para .

Passo 3

Para encontrar a matriz de , vamos aplicar a transformação a cada um desses vetores base e ver qual resultado obtemos em .

Passo 4

Vamos começar aplicando T(1,0,0,0) = (1 - 2 cdot 0 - 2 cdot 0 + 0, , 2 cdot 1 - 5 cdot 0 + 0, , -4 cdot 0 + 0 + 0) = (1, , 2, , 0) em :

Passo 5

Agora, aplicamos T(0,1,0,0) = (0 - 2 cdot 1 - 2 cdot 0 + 0, , 2 cdot 0 - 5 cdot 0 + 0, , -4 cdot 1 + 0 + 0) = (-2, , 0, , -4) em :

Passo 6

Em seguida, aplicamos T(0,0,1,0) = (0 - 2 cdot 0 - 2 cdot 1 + 0, , 2 cdot 0 - 5 cdot 1 + 0, , -4 cdot 0 + 1 + 0) = (-2, , -5, , 1) em :

Passo 7

Por último, aplicamos T(0,0,0,1) = (0 - 2 cdot 0 - 2 cdot 0 + 1, , 2 cdot 0 - 5 cdot 0 + 1, , -4 cdot 0 + 0 + 1) = (1, , 1, , 1) em :

Resposta

A matriz de [T] = 1 & -2 & -2 & 1 2 & 0 & -5 & 1 0 & -4 & 1 & 1 em relação às bases canônicas é:

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