Responda Verdadeiro ou Falso, justificando: Se B e A são tais que A=A^t e B=B^t, então C=A B, é tal que C^t=C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa: Se e são matrizes tais que e , então é tal que .
Nesse exercício, estamos lidando com matrizes simétricas, que são aquelas iguais às suas transpostas ( ). Para resolver, vamos precisar entender como a transposta de um produto de matrizes funciona e quais condições garantem que o produto de duas matrizes simétricas também seja simétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz M = m11 & m12 m21 & m22 , denotada por M^t = m11 & m21 m12 & m22 , é obtida trocando-se as linhas pelas colunas. Por exemplo, se é:
Sua transposta é:

Passo 3

Agora, vamos ver como a transposta de um produto de matrizes funciona. Existe uma propriedade importante que diz:
(AB)^t = B^t A^t
Isso significa que, para transpor o produto de e , a ordem das matrizes é invertida e cada uma é transposta individualmente.

Passo 4

Sabemos que C^t = (AB)^t = B^t A^t e C^t = B A , pois são matrizes simétricas. Vamos aplicar a propriedade da transposta do produto:
Substituindo por e por :

Passo 5

Para que B A = A B , precisamos que:
Ou seja, para que o produto seja simétrico, as matrizes e precisam comutarem, ou seja, .

Passo 6

No enunciado, não foi especificado que e comutam. Portanto, não podemos garantir que será simétrico apenas com a informação de que e são simétricas.

Resposta

Falso. Embora e sejam simétricas, o produto só será simétrico se e comutarem, o que não é garantido pelo enunciado.

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