Responda Verdadeiro ou Falso, justificando: Se
e
são tais que
e
, então
, é tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa: Se
e
são matrizes tais que
e
, então
é tal que
.
Nesse exercício, estamos lidando com matrizes simétricas, que são aquelas iguais às suas transpostas (
). Para resolver, vamos precisar entender como a transposta de um produto de matrizes funciona e quais condições garantem que o produto de duas matrizes simétricas também seja simétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é obtida trocando-se as linhas pelas colunas. Por exemplo, se
é:
Sua transposta
é:
Passo 3
Agora, vamos ver como a transposta de um produto de matrizes funciona. Existe uma propriedade importante que diz:
Isso significa que, para transpor o produto de
e
, a ordem das matrizes é invertida e cada uma é transposta individualmente.
Passo 4
Sabemos que
e
, pois são matrizes simétricas. Vamos aplicar a propriedade da transposta do produto:
Substituindo
por
e
por
:
Passo 5
Para que
, precisamos que:
Ou seja, para que o produto
seja simétrico, as matrizes
e
precisam comutarem, ou seja,
.
Passo 6
No enunciado, não foi especificado que
e
comutam. Portanto, não podemos garantir que
será simétrico apenas com a informação de que
e
são simétricas.
Resposta
Falso. Embora
e
sejam simétricas, o produto
só será simétrico se
e
comutarem, o que não é garantido pelo enunciado.