Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz A. Resolva-os usando o método de Gauss-Jordan. Observe que os dois sistemas podem ser resolvidos ao mesmo tempo escalonando a matriz aumentada [A|B1| B2].
(a) x1-2 x2+x3 & =1 2 x1-5 x2+x3 & =-2 3 x1-7 x2+2 x3 & =-1;
(b) rrx1-2 x2+x3=2 2 x1-5 x2+x3= & -1 3 x1-7 x2+2 x3= & 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses dois sistemas lineares que têm a mesma matriz de coeficientes A. A matéria que vamos usar aqui é a Eliminação de Gauss-Jordan, que serve para resolver sistemas de equações lineares de maneira organizada. Para isso, vamos precisar manipular a matriz aumentada dos sistemas, que no caso são os sistemas (a) e (b). A ideia é escalonar a matriz [A|B1| B2] para encontrar as soluções dos dois sistemas ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada combinada dos dois sistemas. Vamos escrever as equações de ambos os sistemas lado a lado:
Sistema (a):
x1 - 2x2 + x3 = 1 2x1 - 5x2 + x3 = -2 3x1 - 7x2 + 2x3 = -1
Sistema (b):
x1 - 2x2 + x3 = 2 2x1 - 5x2 + x3 = -1 3x1 - 7x2 + 2x3 = 2
Agora, combinamos as matrizes aumentadas dos dois sistemas:
[ ccc|cc 1 & -2 & 1 & 1 & 2 2 & -5 & 1 & -2 & -1 3 & -7 & 2 & -1 & 2 ]

Passo 3

Nosso próximo passo é escalonar essa matriz para torná-la mais simples e encontrar as soluções. Vamos começar a eliminar os termos abaixo do primeiro pivô (que é o 1 na primeira linha e primeira coluna).
  • Linha 2 = Linha 2 - 2 × Linha 1:
2 - 2 times 1 = 0 -5 - 2 times (-2) = -5 + 4 = -1 1 - 2 times 1 = 1 - 2 = -1 -2 - 2 times 1 = -2 - 2 = -4 -1 - 2 times 2 = -1 - 4 = -5
  • Linha 3 = Linha 3 - 3 × Linha 1:
3 - 3 times 1 = 0 -7 - 3 times (-2) = -7 + 6 = -1 2 - 3 times 1 = 2 - 3 = -1 -1 - 3 times 1 = -1 - 3 = -4 2 - 3 times 2 = 2 - 6 = -4
Após essas operações, a matriz fica assim:
[ ccc|cc 1 & -2 & 1 & 1 & 2 0 & -1 & -1 & -4 & -5 0 & -1 & -1 & -4 & -4 ]

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os seus elementos por -1 para facilitar:
  • Linha 2 = Linha 2 ÷ (-1):
0, 1, 1, 4, 5
A matriz agora fica:
[ ccc|cc 1 & -2 & 1 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 4 & 5 0 & -1 & -1 & -4 & -4 ]

Passo 5

Em seguida, vamos eliminar o -1 na posição (3,2) usando a segunda linha:
  • Linha 3 = Linha 3 + Linha 2:
0 + 0 = 0 -1 + 1 = 0 -1 + 1 = 0 -4 + 4 = 0 -4 + 5 = 1
A matriz atualizada:
[ ccc|cc 1 & -2 & 1 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 4 & 5 0 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 6

Agora, observamos que na terceira linha, temos 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1. Isso significa que o sistema é inconsistente, ou seja, não há solução que satisfaça ambas as equações simultaneamente.

Resposta

Os sistemas (a) e (b) não possuem soluções, pois a matriz aumentada leva a uma equação inconsistente 0 = 1.

Exercícios relacionados