Encontre condições sobre os bi ^prime (a) x1 & -2 x2+5 x3=b1 4 x1-5 x2+8 x3 & =b2 -3 x1+3 x2-3 x3 & =b3
(b) x1-2 x2-x3 & =b1 -4 x1+5 x2+2 x3 & =b2 -4 x1+7 x2+4 x3 & =b3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois sistemas de equações lineares e precisamos descobrir quais condições os termos do lado direito das equações ( b1', b2', b3') devem satisfazer para que esses sistemas tenham soluções. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes aumentadas e operações elementares para simplificar os sistemas.

Passo 2

Vamos começar com o Sistema (a):
x1 & -2 x2 + 5 x3 = b1 4 x1 - 5 x2 + 8 x3 & = b2 -3 x1 + 3 x2 - 3 x3 & = b3
Primeiro, representamos esse sistema como uma matriz aumentada:
1 & -2 & 5 & | & b1 4 & -5 & 8 & | & b2 -3 & 3 & -3 & | & b3

Passo 3

Vamos simplificar essa matriz usando operações de linha para encontrar condições sobre b1', b2', b3' que garantam que o sistema tenha solução.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar x1 das outras linhas.
  • L2 = L2 - 4*L1:
4 - 4*1 = 0 -5 - 4*(-2) = 3 8 - 4*5 = -12 b2 - 4*b1 = b2 - 4b1
  • L3 = L3 + 3*L1:
-3 + 3*1 = 0 3 + 3*(-2) = -3 -3 + 3*5 = 12 b3 + 3*b1 = b3 + 3b1
Agora, a matriz fica:
1 & -2 & 5 & | & b1 0 & 3 & -12 & | & b2 - 4b1 0 & -3 & 12 & | & b3 + 3b1

Passo 4

Vamos simplificar mais:
  • L3 = L3 + L2:
0 + 0 = 0 -3 + 3 = 0 12 -12 = 0 (b3 + 3b1) + (b2 - 4b1) = b2 + b3 - b1
A matriz agora é:
1 & -2 & 5 & | & b1 0 & 3 & -12 & | & b2 - 4b1 0 & 0 & 0 & | & b2 + b3 - b1
Para que o sistema tenha solução, a última linha não pode dizer algo como 0 = algo diferente de 0. Então, precisamos que:
b2 + b3 - b1 = 0 implies b1 = b2 + b3

Passo 5

Agora, vamos para o Sistema (b):
x1 - 2x2 - x3 & = b1 -4x1 + 5x2 + 2x3 & = b2 -4x1 + 7x2 + 4x3 & = b3
Representamos esse sistema como uma matriz aumentada:
1 & -2 & -1 & | & b1 -4 & 5 & 2 & | & b2 -4 & 7 & 4 & | & b3

Passo 6

Vamos simplificar essa matriz usando operações de linha:
Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar x1 das outras linhas.
  • L2 = L2 + 4*L1:
-4 + 4*1 = 0 5 + 4*(-2) = -3 2 + 4*(-1) = -2 b2 + 4*b1 = b2 + 4b1
  • L3 = L3 + 4*L1:
-4 + 4*1 = 0 7 + 4*(-2) = -1 4 + 4*(-1) = 0 b3 + 4*b1 = b3 + 4b1
Agora, a matriz fica:
1 & -2 & -1 & | & b1 0 & -3 & -2 & | & b2 + 4b1 0 & -1 & 0 & | & b3 + 4b1

Passo 7

Vamos continuar a simplificar:
Primeiro, vamos multiplicar a segunda linha por -13 para facilitar:
  • *L2 = (-1/3)L2:
Agora, a matriz é:
0 1 & 23 & | & -b2 + 4b13
Agora, usamos a segunda linha para eliminar 1 & -2 & -1 & | & b1 0 & 1 & 23 & | & -b2 + 4b13 0 & -1 & 0 & | & b3 + 4b1 da terceira linha:
  • L3 = L3 + L2:
A matriz agora é:
x2
Para que o sistema tenha solução, não pode haver uma linha do tipo 0 -1 + 1 = 0 0 + 23 = 23 b3 + 4b1 - b2 + 4b13 = 3(b3 + 4b1) - (b2 + 4b1)3 = 3b3 + 12b1 - b2 - 4b13 = 3b3 - b2 + 8b13 . Assim, precisamos que:
1 & -2 & -1 & | & b1 0 & 1 & 23 & | & -b2 + 4b13 0 & 0 & 23 & | & 3b3 - b2 + 8b13
Isso significa que não há restrições adicionais sobre 0 = algo diferente de 0, 3b3 - b2 + 8b13 = qualquer valor real e b1 além das j�� obtidas nas etapas anteriores.

Resposta

Para o Sistema (a), a condição necessária para que haja solução é:
b1 = b2 + b3
Para o Sistema (b), não há restrições adicionais além das etapas de simplificação realizadas, ou seja, o sistema sempre possui solução independente dos valores de b1, b2 e b3.

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