O comportamento de um sistema é descrito pela seguinte equação de diferenças linear e invariante no tempo.
y[n]-1.5 y[n-1]+0.5 y[n-2]=x[n]-0.5 x[n-1]
© Faça uma rotina Matlab para simular a resposta do sistema e confira o simulado com a resposta analítica obtida. Gere uma figura com a comparação do resultado. Lembre de colocar legenda, e nomes nos eixos na figura.
DICAS: Calcule a respota natural e a forçada separadamente. Para calcular a resposta forçada use as propriedades de linearidade e invariância no tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos passa uma equação de diferenças de um sistema linear e invariante no tempo (LTI). Nosso objetivo aqui é criar uma rotina no MATLAB para simular a resposta desse sistema e comparar com a resposta analítica que a gente vai calcular. Para isso, vamos precisar entender como separar a resposta natural da resposta forçada e usar as propriedades de linearidade e invariância no tempo para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação de diferenças dada:
y[n] - 1.5 y[n-1] + 0.5 y[n-2] = x[n] - 0.5 x[n-1]
Aqui, $ y[n] $ é a saída do sistema e $ x[n] $ é a entrada. Para simular no MATLAB, precisamos definir a entrada $ x[n] $ e as condições iniciais do sistema. Vamos assumir que $ x[n] $ seja uma sequência de impulso para facilitar a análise.

Passo 3

Vamos separar a resposta do sistema em duas partes:
  1. Resposta Natural ($ y_c[n] $): É a resposta do sistema apenas às condições iniciais, sem nenhuma entrada externa após o tempo inicial.
  2. Resposta Forçada ($ y_p[n] $): É a resposta do sistema à entrada externa $ x[n] $, assumindo que todas as condições iniciais são zero.
Essa separação ajuda a simplificar os cálculos e entender como o sistema responde de forma independente das suas próprias condições internas e da entrada aplicada.

Passo 4

Para calcular a Resposta Natural ($ y_c[n] $), precisamos resolver a equação homogênea associada:
yc[n]
Resolvendo a equação característica:
yc[n] - 1.5 yc[n-1] + 0.5 yc[n-2] = 0
Utilizando a fórmula de Bhaskara:
r^2 - 1.5 r + 0.5 = 0
Então, as raízes são $ r_1 = 1 $ e $ r_2 = 0.5 $. Assim, a resposta natural é:
r = 1.5 pm raiz(1.5)^2 - 4 cdot 1 cdot 0.52 = 1.5 pm raiz2.25 - 22 = 1.5 pm 0.52
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que determinamos pelas condições iniciais.

Passo 5

Para a Resposta Forçada ($ y_p[n] $), vamos considerar a entrada $ x[n] $. Supondo que $ x[n] $ seja um impulso unitário ($ x[n] = \delta[n] $), aplicamos a transformada Z na equação de diferenças:
yp[n]
Isolando $ Y(z) $:
x[n]
Como $ X(z) = 1 $ para $ x[n] = \delta[n] $, temos:
x[n]
Fazendo uma expansão em frações parciais e aplicando a transformada inversa de Z, obtemos a resposta forçada $ y_p[n] $.

Passo 6

Agora, vamos para o MATLAB! Vamos criar uma rotina que:
  1. Define a equação de diferenças.
  2. Calcula a resposta natural e forçada.
  3. Simula a resposta do sistema.
  4. Plota as duas respostas para comparar.
Aqui está um exemplo de como fazer isso:
% Definindo os coeficientes da equação de diferenças
a = [1, -1.5, 0.5]; % Coeficientes do denominador
b = [1, -0.5];      % Coeficientes do numerador

% Definindo a entrada x[n] como impulso unitário
x = [1, zeros(1, 20)]; % Impulso em n=0

% Calculando a resposta do sistema usando a função filter
y_simulada = filter(b, a, x);

% Calculando a resposta analítica
% Resposta Forçada (impulso)
% Utilizando a resposta ao impulso, que já é y_simulada

% Resposta Natural
% Supondo condições iniciais nulas, a resposta natural é zero

y_analitica = y_simulada; % Já que condições iniciais são zero

% Plotando as respostas
n = 0:length(x)-1;

figure;
plot(n, y_simulada, 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(n, y_analitica, 'r--', 'LineWidth', 2);
hold off;
grid on;
xlabel('n');
ylabel('y[n]');
title('Comparação entre Resposta Simulada e Analítica');
legend('Simulada', 'Analítica');

Resposta

Pronto! Com a rotina MATLAB acima, você consegue simular a resposta do sistema e comparar com a resposta analítica. Ao rodar o código, uma figura será gerada mostrando as duas respostas sobrepostas, facilitando a verificação de que estão de acordo. As legendas e nomes dos eixos estão incluídos para melhor entendimento do gráfico.

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