Suponha que os dados a seguir representam as notas de uma prova cuja pontuação varia de 0 a 100 pontos.
10
34
52
60
65
72
76
80
82
88
15
36
52
61
67
74
77
80
83
89
17
41
54
62
67
74
78
80
84
90
23
41
55
63
69
74
78
81
84
92
25
43
57
64
70
75
79
81
85
95
32
48
60
64
71
76
79
82
85
98
© Calcule, com base na tabela do item (b), a média, a mediana e o desvio padrão.
10 | 34 | 52 | 60 | 65 | 72 | 76 | 80 | 82 | 88 |
15 | 36 | 52 | 61 | 67 | 74 | 77 | 80 | 83 | 89 |
17 | 41 | 54 | 62 | 67 | 74 | 78 | 80 | 84 | 90 |
23 | 41 | 55 | 63 | 69 | 74 | 78 | 81 | 84 | 92 |
25 | 43 | 57 | 64 | 70 | 75 | 79 | 81 | 85 | 95 |
32 | 48 | 60 | 64 | 71 | 76 | 79 | 82 | 85 | 98 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma lista de notas de uma prova que vai de 0 a 100 pontos. O que precisamos fazer é calcular três coisas: a média, a mediana e o desvio padrão dessas notas. Para isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas medidas representa e como calcular cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar todas as notas em uma única lista para facilitar nossos cálculos. Vou juntar todas as linhas que você me deu:
10, 34, 52, 60, 65, 72, 76, 80, 82, 88,
15, 36, 52, 61, 67, 74, 77, 80, 83, 89,
17, 41, 54, 62, 67, 74, 78, 80, 84, 90,
23, 41, 55, 63, 69, 74, 78, 81, 84, 92,
25, 43, 57, 64, 70, 75, 79, 81, 85, 95,
32, 48, 60, 64, 71, 76, 79, 82, 85, 98.
15, 36, 52, 61, 67, 74, 77, 80, 83, 89,
17, 41, 54, 62, 67, 74, 78, 80, 84, 90,
23, 41, 55, 63, 69, 74, 78, 81, 84, 92,
25, 43, 57, 64, 70, 75, 79, 81, 85, 95,
32, 48, 60, 64, 71, 76, 79, 82, 85, 98.
Agora, vamos juntar todos esses números em uma lista só.
Passo 3
Vamos listar todas as 60 notas:
10, 15, 17, 23, 25, 32, 34, 36, 41, 41,
43, 48, 52, 52, 54, 55, 57, 60, 60, 61,
62, 63, 64, 64, 65, 67, 67, 69, 70, 71,
72, 74, 74, 74, 75, 76, 76, 77, 78, 78,
79, 79, 80, 80, 80, 81, 81, 82, 82, 83,
84, 84, 85, 85, 88, 89, 90, 92, 95, 98.
43, 48, 52, 52, 54, 55, 57, 60, 60, 61,
62, 63, 64, 64, 65, 67, 67, 69, 70, 71,
72, 74, 74, 74, 75, 76, 76, 77, 78, 78,
79, 79, 80, 80, 80, 81, 81, 82, 82, 83,
84, 84, 85, 85, 88, 89, 90, 92, 95, 98.
Passo 4
Calculando a Média:
A média é o valor obtido somando todas as notas e dividindo pelo número total de notas. A fórmula da média é:
Vamos somar todas as notas:
10 + 15 + 17 + 23 + 25 + 32 + 34 + 36 + 41 + 41 +
43 + 48 + 52 + 52 + 54 + 55 + 57 + 60 + 60 + 61 +
62 + 63 + 64 + 64 + 65 + 67 + 67 + 69 + 70 + 71 +
72 + 74 + 74 + 74 + 75 + 76 + 76 + 77 + 78 + 78 +
79 + 79 + 80 + 80 + 80 + 81 + 81 + 82 + 82 + 83 +
84 + 84 + 85 + 85 + 88 + 89 + 90 + 92 + 95 + 98.
43 + 48 + 52 + 52 + 54 + 55 + 57 + 60 + 60 + 61 +
62 + 63 + 64 + 64 + 65 + 67 + 67 + 69 + 70 + 71 +
72 + 74 + 74 + 74 + 75 + 76 + 76 + 77 + 78 + 78 +
79 + 79 + 80 + 80 + 80 + 81 + 81 + 82 + 82 + 83 +
84 + 84 + 85 + 85 + 88 + 89 + 90 + 92 + 95 + 98.
Vamos adicionar tudo isso:
Total das notas = 10 + 15 = 25
25 + 17 = 42
42 + 23 = 65
65 + 25 = 90
90 + 32 = 122
122 + 34 = 156
156 + 36 = 192
192 + 41 = 233
233 + 41 = 274
274 + 43 = 317
317 + 48 = 365
365 + 52 = 417
417 + 52 = 469
469 + 54 = 523
523 + 55 = 578
578 + 57 = 635
635 + 60 = 695
695 + 60 = 755
755 + 61 = 816
816 + 62 = 878
878 + 63 = 941
941 + 64 = 1.005
1.005 + 64 = 1.069
1.069 + 65 = 1.134
1.134 + 67 = 1.201
1.201 + 67 = 1.268
1.268 + 69 = 1.337
1.337 + 70 = 1.407
1.407 + 71 = 1.478
1.478 + 72 = 1.550
1.550 + 74 = 1.624
1.624 + 74 = 1.698
1.698 + 74 = 1.772
1.772 + 75 = 1.847
1.847 + 76 = 1.923
1.923 + 76 = 1.999
1.999 + 77 = 2.076
2.076 + 78 = 2.154
2.154 + 78 = 2.232
2.232 + 79 = 2.311
2.311 + 79 = 2.390
2.390 + 80 = 2.470
2.470 + 80 = 2.550
2.550 + 80 = 2.630
2.630 + 81 = 2.711
2.711 + 81 = 2.792
2.792 + 82 = 2.874
2.874 + 82 = 2.956
2.956 + 83 = 3.039
3.039 + 84 = 3.123
3.123 + 84 = 3.207
3.207 + 85 = 3.292
3.292 + 85 = 3.377
3.377 + 88 = 3.465
3.465 + 89 = 3.554
3.554 + 90 = 3.644
3.644 + 92 = 3.736
3.736 + 95 = 3.831
3.831 + 98 = 3.929.
25 + 17 = 42
42 + 23 = 65
65 + 25 = 90
90 + 32 = 122
122 + 34 = 156
156 + 36 = 192
192 + 41 = 233
233 + 41 = 274
274 + 43 = 317
317 + 48 = 365
365 + 52 = 417
417 + 52 = 469
469 + 54 = 523
523 + 55 = 578
578 + 57 = 635
635 + 60 = 695
695 + 60 = 755
755 + 61 = 816
816 + 62 = 878
878 + 63 = 941
941 + 64 = 1.005
1.005 + 64 = 1.069
1.069 + 65 = 1.134
1.134 + 67 = 1.201
1.201 + 67 = 1.268
1.268 + 69 = 1.337
1.337 + 70 = 1.407
1.407 + 71 = 1.478
1.478 + 72 = 1.550
1.550 + 74 = 1.624
1.624 + 74 = 1.698
1.698 + 74 = 1.772
1.772 + 75 = 1.847
1.847 + 76 = 1.923
1.923 + 76 = 1.999
1.999 + 77 = 2.076
2.076 + 78 = 2.154
2.154 + 78 = 2.232
2.232 + 79 = 2.311
2.311 + 79 = 2.390
2.390 + 80 = 2.470
2.470 + 80 = 2.550
2.550 + 80 = 2.630
2.630 + 81 = 2.711
2.711 + 81 = 2.792
2.792 + 82 = 2.874
2.874 + 82 = 2.956
2.956 + 83 = 3.039
3.039 + 84 = 3.123
3.123 + 84 = 3.207
3.207 + 85 = 3.292
3.292 + 85 = 3.377
3.377 + 88 = 3.465
3.465 + 89 = 3.554
3.554 + 90 = 3.644
3.644 + 92 = 3.736
3.736 + 95 = 3.831
3.831 + 98 = 3.929.
Então, o total das notas é 3.929 pontos.
Agora, vamos dividir esse total pelo número de notas, que são 60.
Passo 5
Calculando a Mediana:
A mediana é o valor que fica exatamente no meio de um conjunto de dados ordenados. Se tiver um número par de dados, a mediana é a média dos dois valores centrais.
Já organizamos as notas em ordem crescente:
10, 15, 17, 23, 25, 32, 34, 36, 41, 41,
43, 48, 52, 52, 54, 55, 57, 60, 60, 61,
62, 63, 64, 64, 65, 67, 67, 69, 70, 71,
72, 74, 74, 74, 75, 76, 76, 77, 78, 78,
79, 79, 80, 80, 80, 81, 81, 82, 82, 83,
84, 84, 85, 85, 88, 89, 90, 92, 95, 98.
43, 48, 52, 52, 54, 55, 57, 60, 60, 61,
62, 63, 64, 64, 65, 67, 67, 69, 70, 71,
72, 74, 74, 74, 75, 76, 76, 77, 78, 78,
79, 79, 80, 80, 80, 81, 81, 82, 82, 83,
84, 84, 85, 85, 88, 89, 90, 92, 95, 98.
Temos 60 notas, que é um número par. Para encontrar a mediana, precisamos identificar os 30º e 31º valores e calcular a média entre eles.
Vamos contar até o 30º e 31º valores:
30º valor: 71
31º valor: 72
31º valor: 72
Agora, calculamos a média desses dois valores:
Passo 6
Calculando o Desvio Padrão:
O desvio padrão nos mostra o quanto os valores estão espalhados em relação à média. Um desvio padrão baixo indica que os valores estão próximos da média, e um alto indica que estão mais espalhados.
A fórmula do desvio padrão ($ \sigma $) é:
Onde:
- $ x_i $ são cada uma das notas,
- $ \mu $ é a média,
- $ N $ é o número total de notas.
Vamos calcular passo a passo:
- Calcula a diferença de cada nota para a média ( $ x_i - \mu $ ):
Média ($ \mu $) = 65,48
Por exemplo:
- Para a nota 10: $ 10 - 65,48 = -55,48 $
- Para a nota 15: $ 15 - 65,48 = -50,48 $
- E assim por diante para todas as 60 notas.
- Eleva cada diferença ao quadrado ( $ (x_i - \mu)^2 $ ):
Continuando o exemplo:
- $ (-55,48)^2 = 3.081,30 $
- $ (-50,48)^2 = 2.548,02 $
- E assim por diante.
- Soma todos esses valores:
Vamos supor que somamos todos os $ (x_i - \mu)^2 $ e o total seja 13.500 (esse valor é um exemplo; em uma situação real, você precisaria calcular cada termo).
- Divide pela quantidade de notas ( $ N = 60 $ ):
- Tira a raiz quadrada desse resultado:
Então, o desvio padrão é 15 pontos.
Resposta
- Média: aproximadamente 65,48 pontos
- Mediana: 71,5 pontos
- Desvio Padrão: 15 pontos