Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' + 3 y' + 2 y = sen(x) * e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Para isso, a gente monta a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:

Passo 3

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito, temos , que sugere que tentaremos uma solução na forma:
Onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituindo , e na equação original:
Simplificando os termos:
Isso resulta em:

Passo 7

Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e devem ser iguais nos dois lados:
Resolvendo a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Agora que encontramos e , a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Derive cada uma das funções dadas abaixo:
s) f(x) = 2^(sen(pi x))
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' + y = cos(x) / sen(x) con y(0) = 1, y' (0) = pi
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' - 4y = e^(2x)/x con y(1) = 0, y'(1) = 1
Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.
e) f(x) = arctg(2^(7 x))