Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
. Para isso, a gente monta a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Passo 3
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observando o lado direito, temos
, que sugere que tentaremos uma solução na forma:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Isso resulta em:
Passo 7
Para que a igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais nos dois lados:
Resolvendo a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 8
Agora que encontramos
e
, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
s)
s)
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
con
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
con
Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.
e)
e)