Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: con
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para a equação completa. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação das funções trigonométricas seno e cosseno. Então, temos:
Aqui, e são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Vamos chamar essa solução de . A forma do lado direito da equação, , pode ser reescrita como . Sabemos que .
Para achar , vamos supor uma forma para a solução particular. Como o lado direito envolve funções trigonométricas, vamos tentar uma combinação dessas funções. No entanto, como já temos e na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por para evitar duplicidade. Então, vamos supor:
Onde e são constantes a serem determinadas.
Passo 4
Vamos derivar para encontrar e :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo , e na equação original , teremos:
Simplificando, percebemos que os termos com se cancelam:
Passo 6
Comparando os coeficientes dos termos trigonométricos, temos:
Para que isso seja válido para todos os , devemos ter:
Essa equação só será verdadeira se:
Isso implica que:
Comparando os coeficientes, obtemos:
Isso sugere que uma solução particular mais adequada seria tentar . Então, vamos refazer com essa suposição.
Passo 7
Vamos supor agora que . Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação :
Fatorando :
Para que isso seja igual para todos os , devemos ter:
No entanto, isso não resolve facilmente para . Portanto, essa abordagem não é eficaz. Vamos então tentar uma outra forma para a solução particular.
Passo 8
Vamos tentar uma solução particular do tipo . Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação :
Isso também não fornece uma igualdade válida para todos os . Assim, parece que precisaríamos de outra abordagem, possivelmente usando a variação dos parâmetros ou integrais.
Passo 9
Vamos usar o método da variação das constantes para encontrar a solução particular. Sabemos que a solução homogênea é . Vamos assumir que as constantes e não são constantes, mas funções de :
Agora, precisamos encontrar e .
Passo 10
Derivando :
Primeira derivada:
Impondo a condição para simplificar, temos:
Segunda derivada:
Substituindo na equação original :
Simplificando:
Passo 11
Temos agora um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para e . Multiplicando a primeira equação por e a segunda por e somando, conseguimos eliminar :
Simplificando:
Como :
Passo 12
Agora, integrando :
Usando a identidade :
Sabemos que e .
Então:
Podemos considerar para simplificar.
Passo 13
Voltando à primeira equação do sistema:
Sabemos que , então:
Integrando:
Considerando :
Passo 14
Agora, temos e . Substituindo na solução particular:
Simplificando:
Passo 15
Finalmente, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:
Passo 16
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de e .