O que resulta a interseção do hiperboloide de duas folhas
, com o plano
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um hiperboloide de duas folhas dado pela equação
e um plano definido por
. Nosso objetivo é encontrar como esses dois se cruzam, ou seja, qual é a figura que resulta dessa interseção. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quadricas e como substituir equações de planos nas equações dessas superfícies para encontrar suas interseções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa intersecar o hiperboloide com o plano
. Basicamente, queremos ver qual é a “corte” que o hiperboloide faz quando cortamos ele com esse plano específico. Como o plano está definido por
, isso significa que em toda a interseção, o valor de
será sempre -3.
Passo 3
Agora, para encontrar a equação da interseção, vamos substituir
na equação do hiperboloide. Então, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação passo a passo:
Agora, vamos subtrair 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
Passo 5
A última equação que obtivemos é:
Para que a soma de dois termos quadráticos seja zero, cada termo individualmente precisa ser zero. Ou seja:
Isso implica que
e
. Portanto, o único ponto de interseção é onde
,
e
.
Resposta
A interseção do hiperboloide de duas folhas
com o plano
é o ponto único
.