O que resulta a interseção do hiperboloide de duas folhas x^23^2-y^24^2-z^25^2=1, com o plano x=-3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um hiperboloide de duas folhas dado pela equação x^23^2 - y^24^2 - z^25^2 = 1 e um plano definido por x = -3. Nosso objetivo é encontrar como esses dois se cruzam, ou seja, qual é a figura que resulta dessa interseção. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quadricas e como substituir equações de planos nas equações dessas superfícies para encontrar suas interseções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa intersecar o hiperboloide com o plano x = -3. Basicamente, queremos ver qual é a “corte” que o hiperboloide faz quando cortamos ele com esse plano específico. Como o plano está definido por x = -3, isso significa que em toda a interseção, o valor de x será sempre -3.

Passo 3

Agora, para encontrar a equação da interseção, vamos substituir x = -3 na equação do hiperboloide. Então, temos:
(-3)^23^2 - y^24^2 - z^25^2 = 1

Passo 4

Vamos simplificar essa equação passo a passo:
99 - y^216 - z^225 = 1
1 - y^216 - z^225 = 1
Agora, vamos subtrair 1 de ambos os lados:
- y^216 - z^225 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
y^216 + z^225 = 0

Passo 5

A última equação que obtivemos é:
y^216 + z^225 = 0
Para que a soma de dois termos quadráticos seja zero, cada termo individualmente precisa ser zero. Ou seja:
y^216 = 0 e z^225 = 0
Isso implica que y = 0 e z = 0. Portanto, o único ponto de interseção é onde x = -3, y = 0 e z = 0.

Resposta

A interseção do hiperboloide de duas folhas x^23^2 - y^24^2 - z^25^2 = 1 com o plano x = -3 é o ponto único (-3, 0, 0).

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