Considere a matriz que representa uma transformação linear na base canônica de . Ao mudarmos para uma base que representa a mesma transformação por uma matriz diagonal, o determinante dessa nova matriz será:
a) 80
b) 15
c) 0
d) 5
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que representa uma transformação linear no espaço na base canônica. A matriz dada é:
O conteúdo da matéria envolvido aqui é transformações lineares e determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como o determinante se comporta quando mudamos a base e como calcular o determinante de uma matriz triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz original. Como a matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
Passo 3
Agora, precisamos saber o que acontece com o determinante quando mudamos a base. É importante lembrar que o determinante de uma transformação linear é uma invariant sob mudança de base, ou seja, permanece o mesmo independentemente da base escolhida.
Passo 4
Isso significa que, se mudarmos para uma base onde a matriz da transforma��ão linear é diagonal, o determinante dessa nova matriz também será 80. A forma diagonal simplesmente facilita o cálculo do determinante, mas o valor permanece igual.