Qual o resultado de uma translação de pi, para a direita (ou para a esquerda), nos gráficos das funções seno (ou cosseno)?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que descobrir o que acontece quando a gente faz uma translação de pi para a direita ou para a esquerda nos gráficos das funções seno ou cosseno. O conteúdo que vamos usar aqui é o de transformações de funções trigonométricas, especificamente translações horizontais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as translações afetam a função original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona uma translação horizontal nas funções. Se a gente tem uma função genérica f(x), uma translação para a direita por c unidades fica , e para a esquerda fica . Ou seja, a gente ajusta o argumento da função para mover o gráfico.

Passo 3

Vamos aplicar isso na função seno. A função original é . Se a gente transladar essa função pi para a direita, a nova função será . Se for para a esquerda, será .

Passo 4

Agora, vamos simplificar essas expressões usando identidades trigonométricas. Sabemos que . Isso significa que:

Passo 5

Portanto, tanto a translação para a direita quanto para a esquerda de pi na função seno resulta em . Ou seja, a função é refletida em relação ao eixo x.

Passo 6

Vamos fazer o mesmo para a função cosseno. A função original é . Transladando pi para a direita, temos , e para a esquerda, .

Passo 7

Usando a identidade trigonométrica , temos:

Passo 8

Então, tanto a translação para a direita quanto para a esquerda de pi na função cosseno resulta em . Assim como na seno, a função é refletida em relação ao eixo x.

Resposta

Realizar uma translação de pi para a direita ou para a esquerda nos gráficos das funções seno ou cosseno resulta na função original multiplicada por -1. Ou seja:
  • Para o seno:
  • Para o cosseno:

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