Determine a derivada partial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada parcial segunda de uma função, ou seja, calcular
. Aqui, estamos lidando com derivadas parciais de funções de duas variáveis,
e
. Para isso, vamos usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial da função em relação a
. A função é
.
Para derivar em relação a
, precisamos aplicar a regra do produto, já que temos dois fatores multiplicando:
e
.
A regra do produto diz que
, onde
e
.
Vamos derivar cada parte:
-
Derivada de
em relação a : . -
Derivada de
em relação a : Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então,.
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
da expressão que obtivemos no passo anterior:
Vamos derivar cada termo em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : Aqui, aplicamos a regra da cadeia novamente, onde a derivada deem relação a é . -
Derivada de
em relação a : Primeiro, observe que. Então, temos: Usamos a regra do produto novamente:Calculando cada parte:- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : .
Então: - Derivada de
Agora, juntando tudo:
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
A derivada parcial segunda é: