Determine a derivada partial partial^2partial x partial y(5 x-3 y) e^x^2+x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada parcial segunda de uma função, ou seja, calcular . Aqui, estamos lidando com derivadas parciais de funções de duas variáveis, e . Para isso, vamos usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial da função em relação a partial fpartial y = (-3) cdot e^x^2+x y + (5x - 3y) cdot e^x^2+x y cdot x . A função é .
Para derivar em relação a , precisamos aplicar a regra do produto, já que temos dois fatores multiplicando: e .
A regra do produto diz que , onde e .
Vamos derivar cada parte:
  • Derivada de em relação a : .
  • Derivada de em relação a : Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde .
    Então, .
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a partial fpartial y = -3 e^x^2+x y + (5x - 3y) x e^x^2+x y da expressão que obtivemos no passo anterior:
-3 cdot partialpartial x e^x^2+x y = -3 e^x^2+x y cdot (2x + y)
Vamos derivar cada termo em relação a partialpartial x [ (5x^2 - 3xy) e^x^2+x y ] :
  1. Derivada de partialpartial x(5x^2 - 3xy) cdot e^x^2+x y + (5x^2 - 3xy) cdot partialpartial x e^x^2+x y em relação a (10x - 3y) e^x^2+x y + (5x^2 - 3xy) e^x^2+x y (2x + y) :
    partial^2 fpartial x partial y = -3 e^x^2+x y (2x + y) + (10x - 3y) e^x^2+x y + (5x^2 - 3xy) e^x^2+x y (2x + y)
    Aqui, aplicamos a regra da cadeia novamente, onde a derivada de partial^2 fpartial x partial y = e^x^2+x y [ -3(2x + y) + (10x - 3y) + (5x^2 - 3xy)(2x + y) ] em relação a é .
  2. Derivada de em relação a :
    Primeiro, observe que . Então, temos:
    Usamos a regra do produto novamente:
    Calculando cada parte:
    • Derivada de em relação a : .
    • Derivada de em relação a : .
    Então:
Agora, juntando tudo:
Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

A derivada parcial segunda é:
partial^2 fpartial x partial y = e^x^2+x y [ -3(2x + y) + (10x - 3y) + (5x^2 - 3xy)(2x + y) ]

Exercícios relacionados