Calcule o fluxo de
através da superfície:
(m) A temperatura em um ponto
de uma substancia com condutividade
65 é
. Encontre o fluxo de calor para dentro de uma superfície cilíndrica
Stweard 5ed exer 16.7.43
Sol.
(m) A temperatura em um ponto
Stweard 5ed exer 16.7.43
Sol.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma temperatura em um ponto
dada por
e uma condutividade térmica
. Precisamos calcular o fluxo de calor através de uma superfície cilíndrica definida por
e
.
Aqui, vamos usar o conceito de fluxo vetorial e a Lei de Fourier da condução de calor para resolver o problema. Vamos precisar calcular o gradiente da temperatura e depois integrar esse gradiente sobre a superfície dada.
Passo 2
A Lei de Fourier da condução de calor nos diz que o vetor fluxo de calor
é dado por:
Aqui,
é o gradiente da temperatura
. Vamos calcular o gradiente de
.
Passo 3
Calculando o gradiente
:
Dado que
, temos:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos calcular o fluxo de
através da superfície cilíndrica
. O fluxo é dado pela integral de superfície:
Aqui,
é o vetor normal à superfície. Para um cilindro, o vetor normal na lateral é radial, ou seja, na direção de
.
Passo 5
Vamos parametrizar a superfície cilíndrica. Usando coordenadas cilíndricas, podemos escrever:
O vetor normal
para a lateral do cilindro é:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão do fluxo:
Substituindo
e
:
Passo 7
A integral de superfície se torna:
Aqui,
porque o raio do cilindro é
.
Simplificando:
Resposta
O fluxo de calor através da superfície cilíndrica é
.
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, para a direita (ou para a esquerda), nos gráficos das funções seno (ou cosseno)?
Determine a derivada partial
.
Esboce o gráfico de
.