Calcule o fluxo de f através da superfície: integral duplaS f cdot n d S
(m) A temperatura em um ponto (x, y, z) de uma substancia com condutividade K= 65 é u(x, y, z)=2 y^2+2 z^2. Encontre o fluxo de calor para dentro de uma superfície cilíndrica y^2+z^2=6,0 <= x <= 4
Stweard 5ed exer 16.7.43
Sol. 1248 pi

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma temperatura em um ponto dada por e uma condutividade térmica . Precisamos calcular o fluxo de calor através de uma superfície cilíndrica definida por e .
Aqui, vamos usar o conceito de fluxo vetorial e a Lei de Fourier da condução de calor para resolver o problema. Vamos precisar calcular o gradiente da temperatura e depois integrar esse gradiente sobre a superfície dada.

Passo 2

A Lei de Fourier da condução de calor nos diz que o vetor fluxo de calor f = -K nabla u é dado por:
Aqui, é o gradiente da temperatura . Vamos calcular o gradiente de .

Passo 3

Calculando o gradiente nabla u = ( partial upartial x, partial upartial y, partial upartial z ) :
partial upartial x = 0 partial upartial y = 4y partial upartial z = 4z
Dado que f = -65 ( 0, 4y, 4z ) = ( 0, -260y, -260z ) , temos:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos calcular o fluxo de integral duplaS f cdot n , dS através da superfície cilíndrica . O fluxo é dado pela integral de superfície:
Aqui, é o vetor normal à superfície. Para um cilindro, o vetor normal na lateral é radial, ou seja, na direção de .

Passo 5

Vamos parametrizar a superfície cilíndrica. Usando coordenadas cilíndricas, podemos escrever:
y = raiz6 cos theta z = raiz6 sin theta x in [0, 4]
O vetor normal n = (0, cos theta, sin theta ) para a lateral do cilindro é:

Passo 6

Substituindo f cdot n = (0, -260y, -260z ) cdot (0, cos theta, sin theta ) = -260y cos theta - 260z sin theta e f cdot n = -260 raiz6 cos^2 theta - 260 raiz6 sin^2 theta = -260 raiz6 (cos^2 theta + sin^2 theta) = -260 raiz6 na expressão do fluxo:
Substituindo e :

Passo 7

A integral de superfície se torna:
integral duplaS f cdot n , dS = integral0^2pi integral0^4 -260 raiz6 cdot raiz6 , dx , dtheta
Aqui, -260 cdot 6 integral0^2pi integral0^4 , dx , dtheta = -1560 integral0^2pi 4 , dtheta = -1560 cdot 4 cdot 2pi = -12480 pi porque o raio do cilindro é .
Simplificando:

Resposta

O fluxo de calor através da superfície cilíndrica é .

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