Calcule o fluxo de através da superfície:
(m) A temperatura em um ponto de uma substancia com condutividade 65 é . Encontre o fluxo de calor para dentro de uma superfície cilíndrica
Stweard 5ed exer 16.7.43
Sol.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma temperatura em um ponto dada por e uma condutividade térmica . Precisamos calcular o fluxo de calor através de uma superfície cilíndrica definida por e .
Aqui, vamos usar o conceito de fluxo vetorial e a Lei de Fourier da condução de calor para resolver o problema. Vamos precisar calcular o gradiente da temperatura e depois integrar esse gradiente sobre a superfície dada.

Passo 2

A Lei de Fourier da condução de calor nos diz que o vetor fluxo de calor é dado por:
Aqui, é o gradiente da temperatura . Vamos calcular o gradiente de .

Passo 3

Calculando o gradiente :
Dado que , temos:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos calcular o fluxo de através da superfície cilíndrica . O fluxo é dado pela integral de superfície:
Aqui, é o vetor normal à superfície. Para um cilindro, o vetor normal na lateral é radial, ou seja, na direção de .

Passo 5

Vamos parametrizar a superfície cilíndrica. Usando coordenadas cilíndricas, podemos escrever:
O vetor normal para a lateral do cilindro é:

Passo 6

Substituindo e na expressão do fluxo:
Substituindo e :

Passo 7

A integral de superfície se torna:
Aqui, porque o raio do cilindro é .
Simplificando:

Resposta

O fluxo de calor através da superfície cilíndrica é .

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Esboce o gráfico de .