Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a sequência . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico quando fica muito grande) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo . Quando é muito grande, fica muito pequeno, próximo de zero. Sabemos que, para valores pequenos de , é aproximadamente igual a . Ou seja, podemos dizer que:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão de :
Parece que está se aproximando de zero. Mas espera aí, isso foi uma aproximação. Para ter certeza, vamos fazer uma análise mais precisa usando a expansão de Taylor da função seno.

Passo 4

A expansão de Taylor da função em torno de zero é:
Aqui, representa termos de ordem superior que se tornam negligenciáveis quando se aproxima de zero. Substituindo , temos:

Passo 5

Agora, substituímos essa expansão na expressão de :
Distribuindo dentro dos parênteses:
Simplificando cada termo:
Ou seja, é aproximadamente igual a quando é grande.

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito:
Porque tanto quanto tendem a zero quando cresce.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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