Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a sequência
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico quando
fica muito grande) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades da função seno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo
. Quando
é muito grande,
fica muito pequeno, próximo de zero. Sabemos que, para valores pequenos de
,
é aproximadamente igual a
. Ou seja, podemos dizer que:
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação na expressão de
:
Parece que
está se aproximando de zero. Mas espera aí, isso foi uma aproximação. Para ter certeza, vamos fazer uma análise mais precisa usando a expansão de Taylor da função seno.
Passo 4
A expansão de Taylor da função
em torno de zero é:
Aqui,
representa termos de ordem superior que se tornam negligenciáveis quando
se aproxima de zero. Substituindo
, temos:
Passo 5
Agora, substituímos essa expansão na expressão de
:
Distribuindo
dentro dos parênteses:
Simplificando cada termo:
Ou seja,
é aproximadamente igual a
quando
é grande.
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito:
Porque tanto
quanto
tendem a zero quando
cresce.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é 0.
Exercícios relacionados
Mostre formalmente que a energia mecânica do oscilador harmônico simples é conservada. Use
, e é sempre bom lembrar:
e
.
Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
para
No circuito
após carregar o capacitor a corrente é nula, o que acontece com a corrente do circuito
?