Mostre formalmente que a energia mecânica do oscilador harmônico simples é conservada. Use
, e é sempre bom lembrar:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a energia mecânica de um oscilador harmônico simples é conservada. Para isso, vamos usar a função de posição
. A matéria envolvida aqui é a conservação de energia em sistemas oscilatórios, e vamos precisar entender como calcular a energia cinética (
) e a energia potencial (
) para somá-las e ver se elas se mantêm constantes ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a velocidade
do oscilador. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética (
). A energia cinética é dada por:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia potencial (
). A força no oscilador harmônico simples é
. A energia potencial é a integral dessa força em relação a
:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos somar a energia cinética e a energia potencial para obter a energia mecânica total (
):
Factorizando
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A energia mecânica total do oscilador harmônico simples é constante e igual a
, demonstrando que a energia mecânica é conservada.