Mostre formalmente que a energia mecânica do oscilador harmônico simples é conservada. Use x(t)=A cos (omega0 t-phi), e é sempre bom lembrar: K=12 m v^2(t) e U=-integral F cdot d r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a energia mecânica de um oscilador harmônico simples é conservada. Para isso, vamos usar a função de posição x(t) = A cos (omega0 t - phi). A matéria envolvida aqui é a conservação de energia em sistemas oscilatórios, e vamos precisar entender como calcular a energia cinética ( K) e a energia potencial ( U) para somá-las e ver se elas se mantêm constantes ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade v(t) do oscilador. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = dx(t)dt = -A omega0 sin (omega0 t - phi)

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética ( K). A energia cinética é dada por:
K = 12 m v^2(t)
Substituindo v(t):
K = 12 m (-A omega0 sin (omega0 t - phi))^2 = 12 m A^2 omega0^2 sin^2 (omega0 t - phi)

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial ( U). A força no oscilador harmônico simples é F = -m omega0^2 x(t). A energia potencial é a integral dessa força em relação a x:
U = -integral F , dx = -integral (-m omega0^2 x) , dx = 12 m omega0^2 x^2(t)
Substituindo x(t):
U = 12 m omega0^2 (A cos (omega0 t - phi))^2 = 12 m A^2 omega0^2 cos^2 (omega0 t - phi)

Passo 5

Agora, vamos somar a energia cinética e a energia potencial para obter a energia mecânica total ( E):
E = K + U = 12 m A^2 omega0^2 sin^2 (omega0 t - phi) + 12 m A^2 omega0^2 cos^2 (omega0 t - phi)
Factorizando 12 m A^2 omega0^2:
E = 12 m A^2 omega0^2 ( sin^2 (omega0 t - phi) + cos^2 (omega0 t - phi) )
Sabemos que sin^2 theta + cos^2 theta = 1, então:
E = 12 m A^2 omega0^2

Resposta

A energia mecânica total do oscilador harmônico simples é constante e igual a 12 m A^2 omega0^2, demonstrando que a energia mecânica é conservada.

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