Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências a_n abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência. a_n = n / (ln(n)^(0.5))

Passo 1

Vamos analisar a sequência . O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o comportamento de quando tende ao infinito. Observamos que o numerador cresce sem limite, enquanto o denominador também cresce, porém de forma mais lenta, já que o logaritmo cresce mais lentamente que qualquer potência de .

Passo 3

Para formalizar isso, calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Como tende a infinito mais rápido que , o quociente tende a infinito.

Passo 4

Podemos aplicar o critério do crescimento comparativo. Sabemos que cresce mais rapidamente que , então a sequência não se estabiliza em nenhum valor finito.

Resposta

A sequência diverge para infinito, pois o numerador cresce mais rapidamente que o denominador conforme tende ao infinito.

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