Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
Passo 1
Vamos analisar a sequência
. O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o comportamento de
quando
tende ao infinito. Observamos que o numerador
cresce sem limite, enquanto o denominador
também cresce, porém de forma mais lenta, já que o logaritmo cresce mais lentamente que qualquer potência de
.
Passo 3
Para formalizar isso, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Como
tende a infinito mais rápido que
, o quociente tende a infinito.
Passo 4
Podemos aplicar o critério do crescimento comparativo. Sabemos que
cresce mais rapidamente que
, então a sequência
não se estabiliza em nenhum valor finito.
Resposta
A sequência
diverge para infinito, pois o numerador cresce mais rapidamente que o denominador conforme
tende ao infinito.
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, e é sempre bom lembrar:
e
.