Uma reta que passa pela interseção das retas 7 x-2 y=0 e 4 x-y=1 é perpendicular à reta 3 x+8 y=19. Determine sua equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de uma reta que passa pela interseção das retas e , e que também é perpendicular à reta . Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares para achar o ponto de interseção, entender o que significa ser perpendicular entre retas e aplicar essas informações para descobrir a equação procurada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto onde as retas e se cruzam. Isso significa resolver esse sistema de equações para achar os valores de e que satisfazem ambas as equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos resolver o sistema:
7x - 2y = 0 (1) 4x - y = 1 (2)
Da equação (2), podemos isoler y = 4x - 1 :

Passo 4

Agora, substituímos 7x - 2(4x - 1) = 0 7x - 8x + 2 = 0 - x + 2 = 0 x = 2 na equação (1):

Passo 5

Com y = 4(2) - 1 = 8 - 1 = 7 , substituímos na expressão de :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 6

Agora, sabemos que a reta que queremos passar por 8y = -3x + 19 y = -38x + 198 é perpendicular à reta . Para retas serem perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares (slopes) deve ser .
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular da reta . Vamos transformar essa equação na forma :
Então, o coeficiente angular é .

Passo 7

Como a reta que queremos é perpendicular, seu coeficiente angular m1 times m2 = -1 -38 times m2 = -1 m2 = 83 deve satisfazer:

Passo 8

Agora que temos o coeficiente angular y - y1 = m(x - x1) e passa pelo ponto y - 7 = 83(x - 2) , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta é:
y - 7 = 83(x - 2)

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