Uma reta que passa pela interseção das retas
e
é perpendicular à reta
. Determine sua equação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de uma reta que passa pela interseção das retas
e
, e que também é perpendicular à reta
. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares para achar o ponto de interseção, entender o que significa ser perpendicular entre retas e aplicar essas informações para descobrir a equação procurada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto onde as retas
e
se cruzam. Isso significa resolver esse sistema de equações para achar os valores de
e
que satisfazem ambas as equações simultaneamente.
Passo 3
Vamos resolver o sistema:
Da equação (2), podemos isoler
:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação (1):
Passo 5
Com
, substituímos na expressão de
:
Então, o ponto de interseção é
.
Passo 6
Agora, sabemos que a reta que queremos passar por
é perpendicular à reta
. Para retas serem perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares (slopes) deve ser
.
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular da reta
. Vamos transformar essa equação na forma
:
Então, o coeficiente angular
é
.
Passo 7
Como a reta que queremos é perpendicular, seu coeficiente angular
deve satisfazer:
Passo 8
Agora que temos o coeficiente angular
e passa pelo ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta é: