Uma reta que passa pela interseção das retas e é perpendicular à reta . Determine sua equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de uma reta que passa pela interseção das retas e , e que também é perpendicular à reta . Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares para achar o ponto de interseção, entender o que significa ser perpendicular entre retas e aplicar essas informações para descobrir a equação procurada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto onde as retas e se cruzam. Isso significa resolver esse sistema de equações para achar os valores de e que satisfazem ambas as equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos resolver o sistema:
Da equação (2), podemos isoler :

Passo 4

Agora, substituímos na equação (1):

Passo 5

Com , substituímos na expressão de :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 6

Agora, sabemos que a reta que queremos passar por é perpendicular à reta . Para retas serem perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares (slopes) deve ser .
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular da reta . Vamos transformar essa equação na forma :
Então, o coeficiente angular é .

Passo 7

Como a reta que queremos é perpendicular, seu coeficiente angular deve satisfazer:

Passo 8

Agora que temos o coeficiente angular e passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta é:

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(a) e ;
(b) e ;
© ;
(d) .
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