Seja A=(a, b, c) mid a, b, c in1,2,3,4 com a relação de ordem (a, b, c) preccurlyeq(x, y, z) long<=ftrightarrow (a <= x wed>= b <= y wed>= c <= z). A é um reticulado? Justifique.

Passo 1

Então, a gente tem o conjunto e uma relação de ordem definida por se e somente se , e . Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto com essa ordem é um reticulado. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um reticulado e como verificar se todo par de elementos em tem um menor limite superior (chamado de join) e um maior limite inferior (chamado de meet).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um reticulado. Um reticulado é um conjunto junto com uma relação de ordem onde, para qualquer dois elementos, a gente consegue encontrar tanto o menor limite superior (join) quanto o maior limite inferior (meet). Isso significa que, para dois elementos quaisquer, existe um elemento que é maior ou igual aos dois (join) e o menor elemento que é menor ou igual aos dois (meet).

Passo 3

No nosso caso, os elementos de são trincas de números de 1 a 4. A relação de ordem é definida componente a componente: uma trinca é menor ou igual a se cada componente de , e é menor ou igual à correspondente de , e .

Passo 4

Para verificar se é um reticulado, vamos ver se, para quaisquer duas trincas e , existe uma trinca que é o join e outra que é o meet deles.

Passo 5

O join de duas trincas será a trinca formada tomando o máximo de cada componente. Ou seja:
Join = (max(a1, a2), max(b1, b2), max(c1, c2))
Isso garante que o join é o menor elemento que é maior ou igual aos dois elementos originais em cada componente.

Passo 6

O meet de duas trincas será a trinca formada tomando o mínimo de cada componente. Ou seja:
Meet = (min(a1, a2), min(b1, b2), min(c1, c2))
Isso garante que o meet é o maior elemento que é menor ou igual aos dois elementos originais em cada componente.

Passo 7

Como conseguimos sempre definir o join e o meet para quaisquer duas trincas em usando as operações de máximo e mínimo em cada componente, isso significa que qualquer par de elementos em tem tanto um join quanto um meet dentro de .

Passo 8

Portanto, já que para todo par de elementos em existe um join e um meet, concluímos que com a relação de ordem dada é, sim, um reticulado.

Resposta

Sim, é um reticulado porque para qualquer par de elementos em , existe um menor limite superior (join) e um maior limite inferior (meet) definidos componente a componente.

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