A reta r passa pelo ponto P(1,2) e é perpendicular à reta s: 2x+3y-6=0. O ponto de intersecção de r com o eixo 0y é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta $ r $ que passa pelo ponto $ P(1,2) $ e é perpendicular à reta $ s $ definida por $ 2x + 3y - 6 = 0 $. O que a gente quer encontrar é o ponto onde a reta $ r $ cruza o eixo $ Oy $ (ou seja, o eixo y). Para isso, vamos precisar entender como encontrar a equação de uma reta perpendicular e depois descobrir onde ela intercepta o eixo y.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a inclinação (coeficiente angular) da reta $ s $. A equação dada é $ 2x + 3y - 6 = 0 $. Queremos colocá-la na forma $ y = mx + b $, onde $ m $ é a inclinação.
Vamos resolver para $ y $:
Então, o coeficiente angular da reta $ s $ é $ m_s = -\frac{2}{3} $.
Passo 3
Como a reta $ r $ é perpendicular à reta $ s $, o coeficiente angular de $ r $ ($ m_r $) é o negativo do inverso de $ m_s $. Ou seja:
Então, a inclinação da reta $ r $ é $ \frac{3}{2} $.
Passo 4
Agora que temos a inclinação da reta $ r $ e um ponto por onde ela passa ($ P(1,2) $), podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo $ m = \frac{3}{2} $ e $ (x_1, y_1) = (1,2) $:
Passo 5
Vamos simplificar a equação para encontrar a forma mais fácil de trabalhar:
Então, a equação da reta $ r $ é $ y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} $.
Passo 6
Para encontrar o ponto onde a reta $ r $ intersecta o eixo $ Oy $, lembramos que no eixo $ Oy $, o valor de $ x $ é zero. Então, substituímos $ x = 0 $ na equação da reta $ r $:
Resposta
O ponto de intersecção de $ r $ com o eixo $ Oy $ é $ \left(0,, \frac{1}{2}\right) $.