A reta r passa pelo ponto P(1,2) e é perpendicular à reta s: 2x+3y-6=0. O ponto de intersecção de r com o eixo 0y é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta $ r $ que passa pelo ponto $ P(1,2) $ e é perpendicular à reta $ s $ definida por $ 2x + 3y - 6 = 0 $. O que a gente quer encontrar é o ponto onde a reta $ r $ cruza o eixo $ Oy $ (ou seja, o eixo y). Para isso, vamos precisar entender como encontrar a equação de uma reta perpendicular e depois descobrir onde ela intercepta o eixo y.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a inclinação (coeficiente angular) da reta $ s $. A equação dada é $ 2x + 3y - 6 = 0 $. Queremos colocá-la na forma $ y = mx + b $, onde $ m $ é a inclinação.
Vamos resolver para $ y $:
s
Então, o coeficiente angular da reta $ s $ é $ m_s = -\frac{2}{3} $.

Passo 3

Como a reta $ r $ é perpendicular à reta $ s $, o coeficiente angular de $ r $ ($ m_r $) é o negativo do inverso de $ m_s $. Ou seja:
r
Então, a inclinação da reta $ r $ é $ \frac{3}{2} $.

Passo 4

Agora que temos a inclinação da reta $ r $ e um ponto por onde ela passa ($ P(1,2) $), podemos usar a fórmula da equação da reta:
r
Substituindo $ m = \frac{3}{2} $ e $ (x_1, y_1) = (1,2) $:
P(1,2)

Passo 5

Vamos simplificar a equação para encontrar a forma mais fácil de trabalhar:
y - 2 = 32x - 32 implies y = 32x - 32 + 2
y = 32x + 12
Então, a equação da reta $ r $ é $ y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} $.

Passo 6

Para encontrar o ponto onde a reta $ r $ intersecta o eixo $ Oy $, lembramos que no eixo $ Oy $, o valor de $ x $ é zero. Então, substituímos $ x = 0 $ na equação da reta $ r $:
r

Resposta

O ponto de intersecção de $ r $ com o eixo $ Oy $ é $ \left(0,, \frac{1}{2}\right) $.

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