Sendo A(-2,3) e B(6,-3) extremidades de um segmento, determinar
a) os pontos C, D e E que dividem o segmento A B em quatro partes de mesmo comprimento;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um segmento de reta com as pontas nos pontos e . Nosso objetivo aqui é achar três pontos, que vou chamar de , e , que dividam esse segmento em quatro partes iguais. Para isso, vamos usar um lance da geometria analítica chamado fórmula da divisão de segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como dividir um segmento em partes iguais. Se queremos dividir o segmento em quatro partes iguais, precisamos encontrar os pontos que separam em três intervalos com o mesmo comprimento. Isso significa que os pontos , e vão dividir nas seguintes proporções:
  • divide na razão 1:3
  • divide na razão 2:2
  • divide na razão 3:1

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da divisão de segmento. Se temos dois pontos P( m x2 + n x1m + n, m y2 + n y1m + n ) e , e queremos encontrar um ponto que divide na razão , as coordenadas de são dadas por:
Vamos aplicar isso para cada ponto que queremos achar.

Passo 4

Vamos começar com o ponto C( 1 cdot 6 + 3 cdot (-2)1 + 3, 1 cdot (-3) + 3 cdot 31 + 3 ) = C( 6 - 64, -3 + 94 ) = C(0, 64) = C(0, 1.5) , que divide na razão 1:3. Ou seja, e .
As coordenadas de serão:

Passo 5

Agora, vamos para o ponto D( 2 cdot 6 + 2 cdot (-2)2 + 2, 2 cdot (-3) + 2 cdot 32 + 2 ) = D( 12 - 44, -6 + 64 ) = D(84, 0) = D(2, 0) , que divide na razão 2:2, ou seja, exatamente no meio do segmento. Nesse caso, e .
As coordenadas de serão:

Passo 6

Por último, vamos encontrar o ponto E( 3 cdot 6 + 1 cdot (-2)3 + 1, 3 cdot (-3) + 1 cdot 33 + 1 ) = E( 18 - 24, -9 + 34 ) = E(164, -64) = E(4, -1.5) , que divide na razão 3:1. Aqui, e .
As coordenadas de serão:

Resposta

Os pontos que dividem o segmento em quatro partes iguais são:

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