Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais(com a soma e produto por escalar usuais):
Polinômios de grau menor ou igual a 4.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto de polinômios de grau menor ou igual a 4 forma um espaço vetorial quando utilizamos a soma e o produto por escalar padrão. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de espaços vetoriais e ver se eles são satisfeitos nesse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, polinômios) que obedecem a certas regras chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que você pode somar dois polinômios e multiplicar um polinômio por um escalar (um número real) de maneira consistente.

Passo 3

Os principais axiomas que precisamos verificar são:
  1. Fechamento sob a soma: Se você somar dois polinômios de grau ≤ 4, o resultado também deve ser um polinômio de grau ≤ 4.
  2. Fechamento sob o produto por escalar: Se você multiplicar um polinômio de grau ≤ 4 por um escalar, o resultado também deve ser um polinômio de grau ≤ 4.
  3. Existência do elemento nulo: Deve existir um polinômio que, quando somado a qualquer outro, não o altera (o polinômio zero).
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada polinômio, deve existir outro que, somado a ele, resulta no polinômio zero.
  5. Comutatividade da soma: A ordem da soma não altera o resultado.
  6. Associatividade da soma: A forma como agrupamos os polinômios na soma não altera o resultado.
  7. Distributividade do escalar sobre a soma de vetores: Multiplicar um escalar pela soma de dois polinômios é o mesmo que somar os produtos do escalar com cada polinômio.
  8. Distributividade do escalar sobre a soma de escalares: A soma de dois escalares multiplicados por um polinômio é igual à soma dos polinômios multiplicados separadamente por cada escalar.
  9. Compatibilidade do produto por escalar: Multiplicar dois escalares e depois um polinômio é o mesmo que multiplicar um escalar pelo produto do outro escalar e o polinômio.
  10. Elemento neutro do produto por escalar: Multiplicar um polinômio por 1 deixa o polinômio inalterado.

Passo 4

Vamos verificar cada axioma:
  1. Fechamento sob a soma:
    • Seja e dois polinômios de grau ≤ 4.
    • A soma também será um polinômio de grau ≤ 4, pois a soma de dois polinômios não aumenta o grau máximo além do maior grau dos dois polinômios.
  2. Fechamento sob o produto por escalar:
    • Seja um escalar e um polinômio de grau ≤ 4.
    • O produto será um polinômio onde cada coeficiente de é multiplicado por , mantendo o grau ≤ 4.
  3. Existência do elemento nulo:
    • O polinômio zero, , que tem todos os coeficientes iguais a zero, pertence ao conjunto e atua como o elemento nulo, pois para qualquer polinômio .
  4. Existência de inversos aditivos:
    • Para cada polinômio , existe tal que . Como tem grau ≤ 4, também terá grau ≤ 4.
  5. Comutatividade da soma:
    • Para quaisquer e , devido à comutatividade da adição de coeficientes.
  6. Associatividade da soma:
    • Para quaisquer , e , , novamente pela associatividade da adição de coeficientes.
  7. Distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
    • Para um escalar e polinômios , , temos .
  8. Distributividade do escalar sobre a soma de escalares:
    • Para escalares e e um polinômio , .
  9. Compatibilidade do produto por escalar:
    • Para escalares , e um polinômio , .
  10. Elemento neutro do produto por escalar:
    • Para qualquer polinômio , .

Passo 5

Como todos os axiomas foram verificados e satisfeitos, podemos concluir que o conjunto de polinômios de grau menor ou igual a 4 com as operações de soma e produto por escalar usuais forma, de fato, um espaço vetorial.

Resposta

Sim, o conjunto de polinômios de grau menor ou igual a 4, com a soma e o produto por escalar usuais, é um espaço vetorial.

Exercícios relacionados