Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais(com a soma e produto por escalar usuais):
Polinômios de grau menor ou igual a 4.
Polinômios de grau menor ou igual a 4.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto de polinômios de grau menor ou igual a 4 forma um espaço vetorial quando utilizamos a soma e o produto por escalar padrão. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de espaços vetoriais e ver se eles são satisfeitos nesse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, polinômios) que obedecem a certas regras chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que você pode somar dois polinômios e multiplicar um polinômio por um escalar (um número real) de maneira consistente.
Passo 3
Os principais axiomas que precisamos verificar são:
- Fechamento sob a soma: Se você somar dois polinômios de grau ≤ 4, o resultado também deve ser um polinômio de grau ≤ 4.
- Fechamento sob o produto por escalar: Se você multiplicar um polinômio de grau ≤ 4 por um escalar, o resultado também deve ser um polinômio de grau ≤ 4.
- Existência do elemento nulo: Deve existir um polinômio que, quando somado a qualquer outro, não o altera (o polinômio zero).
- Existência de inversos aditivos: Para cada polinômio, deve existir outro que, somado a ele, resulta no polinômio zero.
- Comutatividade da soma: A ordem da soma não altera o resultado.
- Associatividade da soma: A forma como agrupamos os polinômios na soma não altera o resultado.
- Distributividade do escalar sobre a soma de vetores: Multiplicar um escalar pela soma de dois polinômios é o mesmo que somar os produtos do escalar com cada polinômio.
- Distributividade do escalar sobre a soma de escalares: A soma de dois escalares multiplicados por um polinômio é igual à soma dos polinômios multiplicados separadamente por cada escalar.
- Compatibilidade do produto por escalar: Multiplicar dois escalares e depois um polinômio é o mesmo que multiplicar um escalar pelo produto do outro escalar e o polinômio.
- Elemento neutro do produto por escalar: Multiplicar um polinômio por 1 deixa o polinômio inalterado.
Passo 4
Vamos verificar cada axioma:
-
Fechamento sob a soma:
- Seja
e dois polinômios de grau ≤ 4. - A soma
também será um polinômio de grau ≤ 4, pois a soma de dois polinômios não aumenta o grau máximo além do maior grau dos dois polinômios.
- Seja
-
Fechamento sob o produto por escalar:
- Seja
um escalar e um polinômio de grau ≤ 4. - O produto
será um polinômio onde cada coeficiente de é multiplicado por , mantendo o grau ≤ 4.
- Seja
-
Existência do elemento nulo:
- O polinômio zero,
, que tem todos os coeficientes iguais a zero, pertence ao conjunto e atua como o elemento nulo, pois para qualquer polinômio .
- O polinômio zero,
-
Existência de inversos aditivos:
- Para cada polinômio
, existe tal que . Como tem grau ≤ 4, também terá grau ≤ 4.
- Para cada polinômio
-
Comutatividade da soma:
- Para quaisquer
e , devido à comutatividade da adição de coeficientes.
- Para quaisquer
-
Associatividade da soma:
- Para quaisquer
, e , , novamente pela associatividade da adição de coeficientes.
- Para quaisquer
-
Distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
- Para um escalar
e polinômios , , temos .
- Para um escalar
-
Distributividade do escalar sobre a soma de escalares:
- Para escalares
e e um polinômio , .
- Para escalares
-
Compatibilidade do produto por escalar:
- Para escalares
, e um polinômio , .
- Para escalares
-
Elemento neutro do produto por escalar:
- Para qualquer polinômio
, .
- Para qualquer polinômio
Passo 5
Como todos os axiomas foram verificados e satisfeitos, podemos concluir que o conjunto de polinômios de grau menor ou igual a 4 com as operações de soma e produto por escalar usuais forma, de fato, um espaço vetorial.
Resposta
Sim, o conjunto de polinômios de grau menor ou igual a 4, com a soma e o produto por escalar usuais, é um espaço vetorial.