Determine a equação da elipse com extremidades do eixo menor nos pontos
, e o comprimento da corda peroendicular ao eixo maior passando por um foco igual
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos encontrar a equação de uma elipse sabendo que:
- As extremidades do eixo menor estão nos pontos
e . - O comprimento de uma corda perpendicular ao eixo maior que passa por um dos focos é igual a
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos da geometria analítica sobre elipses, como a definição dos eixos, focos e as relações entre eles.
Passo 2
Primeiro, identificamos as informações sobre o eixo menor. As extremidades do eixo menor estão nos pontos
e
. Isso indica que o eixo menor está alinhado ao eixo
.
O comprimento total do eixo menor é a distância entre esses dois pontos:
O semi-eixo menor
é metade desse valor:
Passo 3
Sabemos que a elipse está centrada na origem
, já que os pontos dados são simétricos em relação à origem. A equação padrão da elipse com o eixo maior alinhado ao eixo
é:
Onde:
-
é o semi-eixo maior. -
é o semi-eixo menor (já identificamos que ).
Passo 4
Precisamos relacionar o comprimento da corda perpendicular ao eixo maior que passa por um dos focos. Primeiro, vamos lembrar que a distância dos focos à origem é dada por:
Passo 5
A corda perpendicular ao eixo maior que passa por um dos focos tem seu comprimento relacionado a
e
. Vamos chamar essa corda de
. Pelo enunciado, sabemos que:
Passo 6
Para encontrar uma relação entre
e
, consideramos a geometria da elipse. A corda perpendicular no foco
intercepta o eixo menor. O comprimento dessa corda pode ser calculado usando a equação da elipse.
Substituímos
na equação da elipse:
Resolvendo para
:
Portanto, o comprimento total da corda é:
Passo 7
Igualando o comprimento da corda ao valor dado no enunciado:
Substituindo
:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Dividindo por
:
Resposta
A equação da elipse é: