Determine a equação da elipse com extremidades do eixo menor nos pontos (0,-4) e (0,4), e o comprimento da corda peroendicular ao eixo maior passando por um foco igual a 85.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos encontrar a equação de uma elipse sabendo que:
  1. As extremidades do eixo menor estão nos pontos (0, -4) e (0, 4).
  2. O comprimento de uma corda perpendicular ao eixo maior que passa por um dos focos é igual a 85a.
Para resolver isso, vamos usar conceitos da geometria analítica sobre elipses, como a definição dos eixos, focos e as relações entre eles.

Passo 2

Primeiro, identificamos as informações sobre o eixo menor. As extremidades do eixo menor estão nos pontos (0, -4) e (0, 4). Isso indica que o eixo menor está alinhado ao eixo y.
O comprimento total do eixo menor é a distância entre esses dois pontos:
Comprimento do eixo menor = 4 - (-4) = 8
O semi-eixo menor b é metade desse valor:
b = 82 = 4

Passo 3

Sabemos que a elipse está centrada na origem (0, 0), já que os pontos dados são simétricos em relação à origem. A equação padrão da elipse com o eixo maior alinhado ao eixo x é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Onde:
  • a é o semi-eixo maior.
  • b é o semi-eixo menor (já identificamos que b = 4).

Passo 4

Precisamos relacionar o comprimento da corda perpendicular ao eixo maior que passa por um dos focos. Primeiro, vamos lembrar que a distância dos focos à origem é dada por:
c = raiza^2 - b^2

Passo 5

A corda perpendicular ao eixo maior que passa por um dos focos tem seu comprimento relacionado a a e c. Vamos chamar essa corda de L. Pelo enunciado, sabemos que:
L = 85a

Passo 6

Para encontrar uma relação entre a e b, consideramos a geometria da elipse. A corda perpendicular no foco (c, 0) intercepta o eixo menor. O comprimento dessa corda pode ser calculado usando a equação da elipse.
Substituímos x = c na equação da elipse:
c^2a^2 + y^2b^2 = 1
Resolvendo para y:
y^2 = b^2 (1 - c^2a^2) = b^4a^2
Portanto, o comprimento total da corda é:
L = 2 cdot b^2a

Passo 7

Igualando o comprimento da corda ao valor dado no enunciado:
2 cdot b^2a = 85a
Substituindo b = 4:
2 cdot 16a = 85a 32a = 85a
Multiplicamos ambos os lados por a para eliminar o denominador:
32 = 85a^2
Multiplicamos ambos os lados por 5:
160 = 8a^2
Dividindo por 8:
20 = a^2 a = raiz20 = 2raiz5

Resposta

A equação da elipse é:
x^220 + y^216 = 1

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